数学问题如图，在三角形ABC中，
[def128128]提出:
一个条件不等式
在等腰直角三角形中，∠BAC=90°，E，F在BC边上[E点靠近B点，F点靠近C点]。求证：
(1）如果∠EAF≤45°，则BE^2+CF^2≥EF^2;
(2) 如果∠EAF≥45°，则BE^2+CF^2≤EF^2。
[shc100]解答。复制解答过程
在等腰直角三角形中，∠BAC=90°，E，F在BC边上[E点靠近B点，F点靠近C点]。求证：
(1) 如果∠EAF≤45°，则BE^2+CF^2≥EF^2;
(2) 如果∠EAF≥45°，则BE^2+CF^2≤EF^2。
证明 设AE为y，AF为z，AB=AC=a。
在△ABE，△AC...全部
[def128128]提出:
一个条件不等式
在等腰直角三角形中，∠BAC=90°，E，F在BC边上[E点靠近B点，F点靠近C点]。求证：
(1）如果∠EAF≤45°，则BE^2+CF^2≥EF^2;
(2) 如果∠EAF≥45°，则BE^2+CF^2≤EF^2。
[shc100]解答。复制解答过程
在等腰直角三角形中，∠BAC=90°，E，F在BC边上[E点靠近B点，F点靠近C点]。求证：
(1) 如果∠EAF≤45°，则BE^2+CF^2≥EF^2;
(2) 如果∠EAF≥45°，则BE^2+CF^2≤EF^2。
证明 设AE为y，AF为z，AB=AC=a。
在△ABE，△ACF中[∠ABE=45°，∠ACF=45°]，根据余弦定理得:
y^2=a^2+BE^2-a*BE*√2; BE^2=y^2-a^2+a*BE*√2;
z^2=a^2+CF^2-a*CF*√2; CF^2=z^2-a^2+a*CF*√2。
两式相加得:
BE^2+CF^2=y^2+z^2-2a^2+a√2(BE+CF)=y^2+z^2-2a^2+a√2(a√2-EF)
=y^2+z^2-a√2EF。
注意到:△AEF面积的两种表示式
yzsin(∠EAF)/2=aEF/(2√2) a√2EF=2yzsin∠EAF
所以有 BE^2+CF^2=y^2+z^2-2yzsin∠EAF
而在△AEF中，根据余弦定理得:
EF^2=y^2+z^2-2yzcos∠EAF
对比上述两式，当∠EAF=45°时，有BE^2+CF^2=EF^2。
(1) 如果∠EAF≤45°，则tan∠EAF≤1，即BE^2+CF^2≥EF^2;
(2) 如果∠EAF≥45°，则tan∠EAF≥1，即BE^2+CF^2≤EF^2。
。
收起
