两道高二数学题1.已知P是椭圆(
1。已知P是椭圆(x²/4)+(y²/3)=1上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为1/2，则向量PF1与向量PF2的乘积为多少？
如左图
椭圆x^2/4+y^2/3=1中，a^2=4，b^2=3
所以，c^2=a^2-b^2=4-3=1
所以，a=2，c=1
则两焦点F1、F2之间的距离|F1F2|=2c=2
已知点P为椭圆上一点，那么点P到两焦点的距离之和|PF1|+|PF2|=2a=4
设，|PF1|=m，|PF2|=n
则，m+n=4………………………………………………………（1）
那么，△PF1F2的周长=|PF1|+|PF2|+|...全部
1。已知P是椭圆(x²/4)+(y²/3)=1上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为1/2，则向量PF1与向量PF2的乘积为多少？
如左图
椭圆x^2/4+y^2/3=1中，a^2=4，b^2=3
所以，c^2=a^2-b^2=4-3=1
所以，a=2，c=1
则两焦点F1、F2之间的距离|F1F2|=2c=2
已知点P为椭圆上一点，那么点P到两焦点的距离之和|PF1|+|PF2|=2a=4
设，|PF1|=m，|PF2|=n
则，m+n=4………………………………………………………（1）
那么，△PF1F2的周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=m+n+2c=4+2=6
已知△PF1F2的内切圆半径为1/2
所以，△PF1F2的面积S=(1/2)*6*(1/2)=3/2
设∠F1PF2=α
则，由正弦定理有△PF1F2的面积S=(1/2)*|PF1|*|PF2|*sinα
=(1/2)mnsinα
所以，(1/2)mnsinα=3/2
所以，mnsinα=3………………………………………………（2）
又，由余弦定理有：|F1F2|^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2*|PF1|*|PF2|*cosα
即，(2c)^2=m^2+n^2-2mncosα
===> 4=m^2+n^2-2mncosα
===> 4=(m+n)^2-2mn-2mncosα
===> 4=16-2mn-2mncosα
===> mn(1+cosα)=6……………………………………………（3）
联立(2)(3)得到：2sinα=1+cosα
所以，cosα=2sinα-1
而，sin^2 α+cos^2 α=1
所以，sin^2 α+(2sinα-1)^2=1
===> sin^2 α+4sin^2 α-4sinα+1=1
===> 5sin^2 α-4sinα=0
===> sinα=4/5
所以，cosα=3/5
已知mnsinα=3
所以，mn=3/sinα=3/(4/5)=15/4
所以，mncosα=(15/4)*(3/5)=9/4
即，向量|PF1|、|PF2|的乘积为9/4
2。
设抛物线y²=2x的焦点为F，过点M（√3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，│BF│=2，则△BCF与△ACF的面积之比为多少？
如右图
分别过点A、B作抛物线准线的垂线，垂足为D、E
△BCF和△ACF是两个等高【均为点F到直线AB的距离】的三角形，所以它们的面积之比为底边长之比
即，S△BCF/S△ACF=CB/CA
而，BE⊥l，AD⊥l
所以，BE//AD
所以，CB/CA=BE/AD
而根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，得到：BE=BF=2
所以，CB/CA=2/AD
设点A(x1,y1)、B(x2,y2)
那么，AD=x1+(1/2)，BE=x2+(1/2)=2
所以，CB/CA=BE/AD=[x2+(1/2)]/[x1+(1/2)]
亦即，CA/CB=[x1+(1/2)]/[x2+(1/2)]
所以，(CA/CB)+1=[x1+(1/2)]/[x2+(1/2)]+1
=[x1+(1/2)+x2+(1/2)]/[x2+(1/2)]
=(x1+x2+1)/[x2+(1/2)]
=(x1+x2+1)/2
所以，CA/CB=[(x1+x2+1)/2]-1
=(x1+x2)/2-(1/2)……………………………………………（1）
且，点B的横坐标为Xb=2-(1/2)=3/2
点B在抛物线y^2=2x上，所以：y^2=2*(3/2)=3
所以，y=-√3【不妨设为负值】
即，点B(3/2,-√3)
已知点M(√3,0)
那么，直线A(M)B的斜率k=√3/[√3-(3/2)]=2√3/(2√3-3)
所以，1/k^2=(2√3-3)^2/12=(12+9-12√3)/12=(21-12√3)/12
设AB所在直线方程为y=k(x-√3)
那么，联立直线与抛物线方程得到：[k(x-√3)]^2=2x
===> k^2(x^2-2√3x+3)=2x
===> k^2x^2-2(√3k^2+1)x+3k^2=0
所以，x1+x2=2(√3k^2+1)/k^2
所以，(x1+x2)/2=(√3k^2+1)/k^2=√3+(1/k^2)
=√3+[(21-12√3)/12]=√3+[(7/4)-√3]
=7/4
代入(1)得到：CA/CB=(x1+x2)/2-(1/2)=(7/4)-(1/2)=5/4
即，S△BCF/S△ACF=4/5。
收起
