求极限？

高等数学在limx趋向于1tan

解：limtan(πx/4)^tan(πx/2) =explimlntan(πx/4)^tan(πx/2) =explimtan(πx/2)ln{1+[tan(πx/4)-1]}(等价无穷小代换) =explimtan(πx/2)[tan(πx/4)-1] =explim[tan(πx/4)-1]/cot(πx/2)(洛必达) =explim(π/4)[sec²(πx/4)]/[-(π/2)csc²(πx/2)] =exp[(-1/2)sec²(π/4)/csc²(π/2)]} =e^(-1) 其中expx=e^x，这样可以把指数横着写。 还可以...全部

  解：limtan(πx/4)^tan(πx/2) =explimlntan(πx/4)^tan(πx/2) =explimtan(πx/2)ln{1+[tan(πx/4)-1]}(等价无穷小代换) =explimtan(πx/2)[tan(πx/4)-1] =explim[tan(πx/4)-1]/cot(πx/2)(洛必达) =explim(π/4)[sec²(πx/4)]/[-(π/2)csc²(πx/2)] =exp[(-1/2)sec²(π/4)/csc²(π/2)]} =e^(-1) 其中expx=e^x，这样可以把指数横着写。
   还可以先用代换令t=1-x，这样t→0可以用更多的等价无穷小代换 原式=limtan[π(1-t)/4]^tan[(π/2)-(πt/2)] =limtan[(π/4)-(πt/4)]^cot(πt/2) =lim{[1-tan(πt/4)]/[1+tan(πt/4)]}^cot(πt/2) =lim{1+[-2tan(πt/4)]/[1+tan(πt/4)]}^cot(πt/2) =explim[-2tan(πt/4)]/{[1+tan(πt/4)]tan(πt/2)} =explim[-2(πt/4)/(πt/2)] =1/e。
  收起