【平面几何】三角形线段比例问题在等腰Δ
添了几次辅助线，均无结果。
作AO⊥BC于O,以OC为x轴、OA为y轴，建立直角坐标系，
设B(-a,0),C(a,0),A(0,h),D(m,0)。则
AB的解析式为y=h/a*x+h,①
AC的解析式为y=-h/a*x+h，②
∵DF⊥AB,
∴DF的解析式为y=-a/h*(x-m),③
由①、③解得xF=a(am-h^2)/(a^2+h^2),
由②、③解得xE=a(am-h^2)/(a^2-h^2)。
∵D,E,F三点共线，
∴DE/EF=(xD-xE)/(xE-xF)=(a-m)(a^2+h^2)/[2a(am-h^2)],④
同理，CE/EA=(xC-xE)/(xE-xA)...全部
添了几次辅助线，均无结果。
作AO⊥BC于O,以OC为x轴、OA为y轴，建立直角坐标系，
设B(-a,0),C(a,0),A(0,h),D(m,0)。则
AB的解析式为y=h/a*x+h,①
AC的解析式为y=-h/a*x+h，②
∵DF⊥AB,
∴DF的解析式为y=-a/h*(x-m),③
由①、③解得xF=a(am-h^2)/(a^2+h^2),
由②、③解得xE=a(am-h^2)/(a^2-h^2)。
∵D,E,F三点共线，
∴DE/EF=(xD-xE)/(xE-xF)=(a-m)(a^2+h^2)/[2a(am-h^2)],④
同理，CE/EA=(xC-xE)/(xE-xA)=a(a-m)/(am-h^2),⑤
∵SΔAEF=2SΔCDE，
∴DE*CE/(EF*EA)=1/2,
④*⑤*2，（a-m)^2*(a^2+h^2)/(am-h^2)^2=1,
两边开平方，得（a-m)√（a^2+h^2)/(am-h^2)=1,
代入④，DE/EF=[√（a^2+h^2)]/(2a)=AB/BC。
证2：作CH⊥AB于H,AO⊥BC于O。
∵AB=AC,∴∠BAO=∠CAO,记为t。
易知AB*CH=2S△ABC=2AO*BO,
∴CH/AC=2*AO/AB*BO/AB,即sin2t=2sintcost。
①
∵EF⊥AF,∴EF=AFsin2t。
作DG⊥BD,EG⊥CE,连CG。则C,D,G,E四点共圆，
∴∠CGE=∠CDE=∠BAO=t,∠DGE=∠ACB=90°-t,
∴∠EDG=∠ECG=90°-t=∠DGE,
∴ED=EG=CGcost,CE=CGsint。
作DM⊥AC于M,易知AF/DM=AE/DE。
∴S△AEF/S△CDE=EF*AF/(CE*DM)=EF/CE*AF/DM=EF/CE*AE/DE
=AE^2*sin2t/(CG^2*sintcost)=1/2,
由①，AE=CG。
∴DE/EF=cost/sin2t=1/(2sint)=AB/(2BO)=AB/BC。
图见上传文件
。收起
