极大值与极小值之和为0
答案是a=-1,1/2,2
这是填空题,答案可以"直觉"一下。
y=x(x-1)(x-a)的图像与x轴交于三点(0,0),(1,0),(a,0)。
它的极大值与极小值之和为0,说明图像上所对应的两"极值点"在x轴两边,且到x轴距离相等。
这图像上两"极值点"关于x轴上一点对称,这对称点应在图像上,
即可能是(0,0),(1,0)或(a,0)。
如果对称点是(0,0),则(1,0)与(a,0)也关于它对称,a=-1;
如果对称点是(1,0),则(0,0)与(a,0)也关于它对称,a=2;
如果对称点是(a,0),则(0,0)与(1,0)也关于它对称,a=1/2。
答案找出。
可以计算...全部
答案是a=-1,1/2,2
这是填空题,答案可以"直觉"一下。
y=x(x-1)(x-a)的图像与x轴交于三点(0,0),(1,0),(a,0)。
它的极大值与极小值之和为0,说明图像上所对应的两"极值点"在x轴两边,且到x轴距离相等。
这图像上两"极值点"关于x轴上一点对称,这对称点应在图像上,
即可能是(0,0),(1,0)或(a,0)。
如果对称点是(0,0),则(1,0)与(a,0)也关于它对称,a=-1;
如果对称点是(1,0),则(0,0)与(a,0)也关于它对称,a=2;
如果对称点是(a,0),则(0,0)与(1,0)也关于它对称,a=1/2。
答案找出。
可以计算出,方法是:
求出y'(x),令y'(x)=0,它有两根x1,x2,这就是f(x)的极值点,
由题意,f(x1)+f(x2)=0,
由根与系数的关系,由x1+x2,x1x2求出x1^2+x2^2,x1^3+x2^3
代入f(x1)+f(x2)=0,解出a。
思路明确,但繁!
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谢谢鼓励!举一例说明验证的方法。
当a=2时,y=f(x)=x^3-3x^2+2x,y'=3x^2-6x+2=0,
设两根,即两极值点(一大一小)p,q,有3p^2=6p-2,p^2=2p-2/3,
p^3=p*p^2=2p^2-(2/3)p=4p-(4/3)p-(2/3)p=2p,
同理,q^2=2q-2/3,q^3=2q,又p+q=2,
所以p^3+q^3=2p+2q=4,p^2+q^2=2(p+q)-4/3=8/3
f(x)的极大值与极小值分别为f(p),f(q),
f(p)+f(q)=(p^3+q^3)-3(p^2+q^2)+2(p+q)=4-8+4=0
即极大值与极小值之和为0,a=2符合题意。
同样方法可验证a=-1,a=1/2符合题意。
。收起