数学问题5
6
w = z + 1/z
w是实数-->|z| = 1,
设z = a+ bi， a, b是实数；
1/z = 1/(a+bi) = (1/(a^2+b^2))(a－bi)；
z+1/z = a+bi + a/(a^2+b^2) -bi/(a^2+b^2)
= a+a/(a^2+b^2) + (b -b/(a^2+b^2))i;
b-b/(a^2+b^2) = 0, a^2+b^2 = 1;
|z| = sqrt(a^2+b^2) = 1;
|z|=1-->w是实数；
|z| = 1, 设 z = cosa+i*sina;
1/z = cosa - i*sina;
w = z + 1
/z = (cosa + isina) + (cosa -isina)
=2cosa,
w为实数。
7,
0, z1, z2, z1+z3,组成平行四边形， 对角线为z1+z2, z1-z2，
由平行四边形对角线和四边的关系：
|z1-z2|^2 + |z1+z2|^2 = 2(|z1|^2+|z2|^2)
|z1-z2|^2 + 3 = 4;
|z1-z2|^2 = 1;
|z1-z2| = 1;
8,
设 z对应点P，
|PF1| = |z1-z|, |PF2| = |z2 - z|,
有椭圆关系；
|PF1| + |PF2| = 2a;
|z-z1| + |z-z2| = 2a;
9,
利用极坐标表示复数，
r = |z|, a是z的角;
z = r*e^(ia);
z~ = r*e^(-ia);
1/z = (1/r)e^(-ia);
1)
|向量OA| = |向量OB|,
z + z~ 是实数，
向量OA 与 向量OB 关于x轴对称；
2）
|向量OB| = 1/|向量OC|,
向量OB的长度是向量OC的长度的倒数，
向量OB与向量OC共线。
。
[展开]