首保问题

求函数的性质总汇,越全面越好希望能有对

(1)抽象函数问题分类解析 我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。 本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。 1。 求定义域 这类问题只要紧紧抓住：将函数 中的 看作一个整体，相当于 中的x这一特性，问题就会迎刃而解。 例1。 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是___。 分析：因为 相当于 中的x，所以 ，解得 或 。 例2。 已知 的定义域为 ，则 的定义域是______。 分析：因为 及 均相当于 中的x，所以 (1)当 时，则 (2)当 时，则 2。 判断奇偶...全部

  (1)抽象函数问题分类解析 我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。
  本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。 1。 求定义域 这类问题只要紧紧抓住：将函数 中的 看作一个整体，相当于 中的x这一特性，问题就会迎刃而解。 例1。 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是___。
   分析：因为 相当于 中的x，所以 ，解得 或 。 例2。 已知 的定义域为 ，则 的定义域是______。 分析：因为 及 均相当于 中的x，所以 (1)当 时，则 (2)当 时，则 2。
   判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求 与 的关系。 例3。 已知 的定义域为R，且对任意实数x，y满足 ，求证： 是偶函数。 分析：在 中，令 ， 得 令 ，得 于是 故 是偶函数。
   例4。 若函数 与 的图象关于原点对称，求证：函数 是偶函数。 证明：设 图象上任意一点为P（ ） 与 的图象关于原点对称， 关于原点的对称点 在 的图象上， 又 即对于函数定义域上的任意x都有 ，所以 是偶函数。
   3。 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例5。 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为5，那么 在区间 上是 A。
   增函数且最小值为 B。 增函数且最大值为 C。 减函数且最小值为 D。 减函数且最大值为 分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。 图1 例6。
   已知偶函数 在 上是减函数，问 在 上是增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图2所示，易知 在 上是增函数，证明如下： 任取 因为 在 上是减函数，所以 。
   又 是偶函数，所以 ， 从而 ，故 在 上是增函数。 图2 4。 探求周期性 这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。
   例7。 设函数 的定义域为R，且对任意的x，y有 ，并存在正实数c，使 。试问 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。 分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现： 满足题设条件，且 ，猜测 是以2c为周期的周期函数。
   故 是周期函数，2c是它的一个周期。 5。 求函数值 紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
   例8。 已知 的定义域为 ，且 对一切正实数x，y都成立，若 ，则 _______。 分析：在条件 中，令 ，得 ， 又令 ， 得 ， 例9。
   已知 是定义在R上的函数，且满足： ， ，求 的值。 分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现 是周期函数，显然 ，于是 ， 所以 故 是以8为周期的周期函数，从而 6。
   比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。 例10。 已知函数 是定义域为R的偶函数， 时， 是增函数，若 ， ，且 ，则 的大小关系是_______。
   分析： 且 ， 又 时， 是增函数， 是偶函数， 故 7。 讨论方程根的问题 例11。 已知函数 对一切实数x都满足 ，并且 有三个实根，则这三个实根之和是_______。
   分析：由 知直线 是函数 图象的对称轴。 又 有三个实根，由对称性知 必是方程的一个根，其余两根 关于直线 对称，所以 ，故 。 8。 讨论不等式的解 求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。
   例12。 已知函数 是定义在 上的减函数，且对一切实数x，不等式 恒成立，求k的值。 分析：由单调性，脱去函数记号，得 由题意知(1)(2)两式对一切 恒成立，则有 9。
   研究函数的图象 这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。 例13。 若函数 是偶函数，则 的图象关于直线_______对称。 分析： 的图象 的图象，而 是偶函数，对称轴是 ，故 的对称轴是 。
   例14。 若函数 的图象过点（0，1），则 的反函数的图象必过定点______。 分析： 的图象过点（0，1），从而 的图象过点 ，由原函数与其反函数图象间的关系易知， 的反函数的图象必过定点 。
   10。 求解析式 例15。 设函数 存在反函数， 与 的图象关于直线 对称，则函数 A。 B。 C。 D。 分析：要求 的解析式，实质上就是求 图象上任一点 的横、纵坐标之间的关系。
   点 关于直线 的对称点 适合 ，即 。 又 ， 即 ，选B。 (2)高中数学高考综合复习 专题五 函数的性质（二） 一、知识网络（见专题四） 二、高考考点（见专题四） 三、知识要点 3、周期性 (1)定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使变量X取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数。
  非零常数T叫做这个函数的周期。 认知： (Ⅰ)设f(x)定义域为I,则存在非零常数T,使对任意x∈I都有f(x+T)=f(x) f(x)为周期函数,T为f(x)的一个周期。 (Ⅱ)对于定义在R上的函数f(x),若T是f(x)的一个周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是f(x)的周期。
   (2)延伸:设f(x)定义域为I。 (Ⅰ)若存在非零常数T,使对任意x∈I都有f(x+T)=－f(x),则f(x)为周期函数,且2T为f(x)的一个周期。 (Ⅱ)存在非零常数a,b(a≠b),使对任意x∈I都有f(x+a)=f(x+b)（x+a与x+b的差为a-b） f(x)为周期函数,且 是f(x)的一个正周期。
   4。反函数 (1)定义:设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C。 根据函数y=f(x)中的x,y的关系,导出x= （y）,如果对于y在C中的任何一个值，通过x= （y），x在A中都有唯一的值和它对应,那么,函数x= （y）(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函数。
   记作x= 在函数x= 中,y表示自变量,x表示函数,出于习惯和研究的方便,我们常常对调函数x= 中字母x,y的位置,将它改写成y= ,并且约定:今后凡不特别说明,函数y= 的反函数均指这种改写过的形式(矫形反函数)。
   (2)定义的推论 由y=f(x)的反函数y= 的引出过程可知 (1) 两域互换:y=f(x)与y= 的定义域和值域互换 (2) 等价反解:当f(x)存在反函数时,y=f(x)(x∈A,y∈C) x= (x∈A,y∈C) (3) 相消性质:注意到两式中x,y的同一性,运用代入手段解 , y∈C (C为反函数 的定义域) , x∈A (A为反函数 的值域) (3)求反函数的三部曲: (ⅰ)确定f(x)值域; (ⅱ)“反解”函数式:y=f(x) x= ; (ⅲ)改写并注明定义域: y= （定义域为y=f(x)的值域）。
   (4) 反函数的性质 反函数除去具有定义推论中的性质之外,还有以下主要性质。 (ⅰ)函数y=f(x)的图像与它的反函数y= 的图像关于直线y=x对称。 这一性质诠释:点(a,b)在y=f(x)图像上 点(b,a)在y= 图像上 即b=f(a) a= (a∈A,b∈C) (ⅱ)若y=f(x)(x∈I)单调,则y=f(x) (x∈I)有反函数,并且正反函数具有同一单调性。
   提醒:单调函数必有反函数,但反之不一定成立。即y=f(x) (x∈I)的反函数存在时,y=f(x)在区间I上不一定是单调的,比如,f(x)= (x≠0)的反函数存在,且它的反函数就是自身,但是f(x)= 在区间(-∞,0)∪(0,+ ∞)上不单调。
   (5) 深入探索 (ⅰ)函数的反函数为自身的充要条件:f(x)= y=f(x)图象自身关于直线y=x对称或者f(x)=x。 (ⅱ)反函数的奇偶性: ① 若f(x)为奇函数且存在反函数,则其反函数 亦为奇函数; ② 若f(x)为非奇非偶函数且存在反函数,则其反函数 亦为非奇非偶函数; ③ 若f(x)为偶函数,则在定义域是非单元素集合的情况下f(x)不存在反函数。
   四。经典例题。 例1。(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f( )=-f(x), 又f(2)=1,f(1)=a,则 a= (2)已知函数f(x)的最小正周期为2T,且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立,则对f(x)的奇偶性的判定是? 分析: (1)由f( )=-f(x)知f(x)是周期函数,且3是f(x)的一个周期, 又f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)(x R) 在此基础上,寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系: f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1) 而f(1)=a,f(2)=1, ∴a=1 (2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x) ① 又这里f(x+T)=f(T-x) ② 为了靠拢①,在②中以(x+T)替代x的位置得 f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x) ③ ∴由①, ③得f(-x)=f(x) ∴f(x)为偶函数。
   点评:我们从上面的分析中看到,解决比较复杂的问题,当已知条件中有两个(或两个以上)的等式时,要注意利用其它条件寻觅这两个(或其中两个)等式的内在联系。有关已知等量关系的联系一旦导出,难点便得以突破。
   例2。 设定义在R上的偶函数f(x)是周期为4的周期函数,且当x [-2,0]时f(x)为增函数, 若f(-2)≥0,求证:当x [4,6]时, 为减函数。 分析:鉴于f(x)的抽象性,考虑运用函数的单调性定义证明。
  注意到目标函数为 ,故在推理过程中要格外关注f(x)的符号。 证明: 设 , 为[4,6]上任意两值,且 , 即 4≤ ≤6, 则-6≤- ＜- ≤-4 ∴-2≤4－ ＜4－ ≤0 ∵偶函数f(x)在[-2,0]上为增函数, ∴f(4－ )＞f(4－ )≥f(-2) 即f( -4) ＞f( －4) ≥0 ① ∵f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(x±4)=f(x) ∴由①得 f( )>f( )≥0 ② ∴由②得 ∴ 在[4,6]上为减函数。
   点评:从设 , 为[4,6]上任意两值且 切入,刻意构造关于 , 的连号不等式,并且在利用函数单调性的过程中一并判定函数值的符号,这一箭双雕的策略或手法值得借鉴。 例3。 (1)若f(x-1)= -2x+3 (x≤0),则 = (2)若f(x+1)= (x≤0),则 = (3)若f(x)为一次函数,且 =25x-30,则f(x)= (4)若f(x)= ( , )的反函数为自身,则a= 分析: (1)先求f(x): 由x≤0得 x-1≤-1 ① 又f(x-1)= +2 ② ∴由①②得 f(x)= +2 (x≤-1) 循着求反函数的”三部曲” 令y=f(x),则y= +2 (x≤-1且y≥3) 反解得x=- ( y≥3) 改写得y=- (x≥3) ∴所求 (x≥3) (2)由已知得f(x+1)= -2(x+1)+1 (x+1≤1) ∴f(x)= (x≤1) 令 =a,则f(a)=1 故得 =1(a≤1) 由此解得a=0,即 =0。
   点评:在可知f(x)解析式的条件下求 ,一般不用去求 ,而是利用 =u =f(u)转化求解。 (3)注意到当f(x)为一次函数时,其反函数 也为一次函数, 令 =ax+b(a≠0),则 =a +b=a(ax+b)+b= x+ab+b ∴由已知得 x+(a+1)b=25x-30 比较两边的关系为 解得 或 ∴ =5x-5 或 =-5x+ ∴f(x)= +1(x∈R) 或 f(x)=- + (x∈R) 提醒:此题常见错解为f(x)=25x-30,想一想,错在哪里? (4)解法一(着眼于利用点的对称) 由已知得点(- ,0)在y=f(x)的图象上, ∴点(0, )也在y=f(x)的图像上, ∴f(0)= - 由此得a=-2。
   思考:此解法可靠性如何? 解法二(立足于求 ): 令y= ,解得x= (y≠2) ∴ = (x≠2) ∴由f(x)= 得(a+2) +( -4)x-(a+2)=0 求解 a=-2 解法三(利用f(x)的两域的特殊性)f(x)的定义域为(-∞,-a)∪(-a,+ ∞), ① 又f(x)的值域为(-∞,2)∪(2,+ ∞) ② 又 =f(x) ∴f(x)的定义域和值域相同 ③ 高中数学高考综合复习 专题五 函数的性质（二） 周期性 (1)定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使变量X取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数。
  非零常数T叫做这个函数的周期。 认知： (Ⅰ)设f(x)定义域为I,则存在非零常数T,使对任意x∈I都有f(x+T)=f(x) f(x)为周期函数,T为f(x)的一个周期。 (Ⅱ)对于定义在R上的函数f(x),若T是f(x)的一个周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是f(x)的周期。
   (2)延伸:设f(x)定义域为I。 (Ⅰ)若存在非零常数T,使对任意x∈I都有f(x+T)=－f(x),则f(x)为周期函数,且2T为f(x)的一个周期。 (Ⅱ)存在非零常数a,b(a≠b),使对任意x∈I都有f(x+a)=f(x+b)（x+a与x+b的差为a-b） f(x)为周期函数,且 是f(x)的一个正周期。
   4。反函数 (1)定义:设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C。 根据函数y=f(x)中的x,y的关系,导出x= （y）,如果对于y在C中的任何一个值，通过x= （y），x在A中都有唯一的值和它对应,那么,函数x= （y）(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函数。
   记作x= 在函数x= 中,y表示自变量,x表示函数,出于习惯和研究的方便,我们常常对调函数x= 中字母x,y的位置,将它改写成y= ,并且约定:今后凡不特别说明,函数y= 的反函数均指这种改写过的形式(矫形反函数)。
   (2)定义的推论 由y=f(x)的反函数y= 的引出过程可知 (1) 两域互换:y=f(x)与y= 的定义域和值域互换 (2) 等价反解:当f(x)存在反函数时,y=f(x)(x∈A,y∈C) x= (x∈A,y∈C) (3) 相消性质:注意到两式中x,y的同一性,运用代入手段解 , y∈C (C为反函数 的定义域) , x∈A (A为反函数 的值域) (3)求反函数的三部曲: (ⅰ)确定f(x)值域; (ⅱ)“反解”函数式:y=f(x) x= ; (ⅲ)改写并注明定义域: y= （定义域为y=f(x)的值域）。
   (4) 反函数的性质 反函数除去具有定义推论中的性质之外,还有以下主要性质。 (ⅰ)函数y=f(x)的图像与它的反函数y= 的图像关于直线y=x对称。 这一性质诠释:点(a,b)在y=f(x)图像上 点(b,a)在y= 图像上 即b=f(a) a= (a∈A,b∈C) (ⅱ)若y=f(x)(x∈I)单调,则y=f(x) (x∈I)有反函数,并且正反函数具有同一单调性。
   提醒:单调函数必有反函数,但反之不一定成立。即y=f(x) (x∈I)的反函数存在时,y=f(x)在区间I上不一定是单调的,比如,f(x)= (x≠0)的反函数存在,且它的反函数就是自身,但是f(x)= 在区间(-∞,0)∪(0,+ ∞)上不单调。
   (5) 深入探索 (ⅰ)函数的反函数为自身的充要条件:f(x)= y=f(x)图象自身关于直线y=x对称或者f(x)=x。 (ⅱ)反函数的奇偶性: ① 若f(x)为奇函数且存在反函数,则其反函数 亦为奇函数; ② 若f(x)为非奇非偶函数且存在反函数,则其反函数 亦为非奇非偶函数; ③ 若f(x)为偶函数,则在定义域是非单元素集合的情况下f(x)不存在反函数。
   四。经典例题。 例1。(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f( )=-f(x), 又f(2)=1,f(1)=a,则 a= (2)已知函数f(x)的最小正周期为2T,且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立,则对f(x)的奇偶性的判定是? 分析: (1)由f( )=-f(x)知f(x)是周期函数,且3是f(x)的一个周期, 又f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)(x R) 在此基础上,寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系: f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1) 而f(1)=a,f(2)=1, ∴a=1 (2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x) ① 又这里f(x+T)=f(T-x) ② 为了靠拢①,在②中以(x+T)替代x的位置得 f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x) ③ ∴由①, ③得f(-x)=f(x) ∴f(x)为偶函数。
   点评:我们从上面的分析中看到,解决比较复杂的问题,当已知条件中有两个(或两个以上)的等式时,要注意利用其它条件寻觅这两个(或其中两个)等式的内在联系。有关已知等量关系的联系一旦导出,难点便得以突破。
   例2。 设定义在R上的偶函数f(x)是周期为4的周期函数,且当x [-2,0]时f(x)为增函数, 若f(-2)≥0,求证:当x [4,6]时, 为减函数。 分析:鉴于f(x)的抽象性,考虑运用函数的单调性定义证明。
  注意到目标函数为 ,故在推理过程中要格外关注f(x)的符号。 证明: 设 , 为[4,6]上任意两值,且 , 即 4≤ ≤6, 则-6≤- ＜- ≤-4 ∴-2≤4－ ＜4－ ≤0 ∵偶函数f(x)在[-2,0]上为增函数, ∴f(4－ )＞f(4－ )≥f(-2) 即f( -4) ＞f( －4) ≥0 ① ∵f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(x±4)=f(x) ∴由①得 f( )>f( )≥0 ② ∴由②得 ∴ 在[4,6]上为减函数。
   点评:从设 , 为[4,6]上任意两值且 切入,刻意构造关于 , 的连号不等式,并且在利用函数单调性的过程中一并判定函数值的符号,这一箭双雕的策略或手法值得借鉴。 例3。 (1)若f(x-1)= -2x+3 (x≤0),则 = (2)若f(x+1)= (x≤0),则 = (3)若f(x)为一次函数,且 =25x-30,则f(x)= (4)若f(x)= ( , )的反函数为自身,则a= 分析: (1)先求f(x): 由x≤0得 x-1≤-1 ① 又f(x-1)= +2 ② ∴由①②得 f(x)= +2 (x≤-1) 循着求反函数的”三部曲” 令y=f(x),则y= +2 (x≤-1且y≥3) 反解得x=- ( y≥3) 改写得y=- (x≥3) ∴所求 (x≥3) (2)由已知得f(x+1)= -2(x+1)+1 (x+1≤1) ∴f(x)= (x≤1) 令 =a,则f(a)=1 故得 =1(a≤1) 由此解得a=0,即 =0。
   点评:在可知f(x)解析式的条件下求 ,一般不用去求 ,而是利用 =u =f(u)转化求解。 (3)注意到当f(x)为一次函数时,其反函数 也为一次函数, 令 =ax+b(a≠0),则 =a +b=a(ax+b)+b= x+ab+b ∴由已知得 x+(a+1)b=25x-30 比较两边的关系为 解得 或 ∴ =5x-5 或 =-5x+ ∴f(x)= +1(x∈R) 或 f(x)=- + (x∈R) 提醒:此题常见错解为f(x)=25x-30,想一想,错在哪里? (4)解法一(着眼于利用点的对称) 由已知得点(- ,0)在y=f(x)的图象上, ∴点(0, )也在y=f(x)的图像上, ∴f(0)= - 由此得a=-2。
   思考:此解法可靠性如何? 解法二(立足于求 ): 令y= ,解得x= (y≠2) ∴ = (x≠2) ∴由f(x)= 得(a+2) +( -4)x-(a+2)=0 求解 a=-2 解法三(利用f(x)的两域的特殊性)f(x)的定义域为(-∞,-a)∪(-a,+ ∞), ① 又f(x)的值域为(-∞,2)∪(2,+ ∞) ② 又 =f(x) ∴f(x)的定义域和值域相同 ③ 函数的性质 　　函数的性质是研究函数的重要内容之一，它包括函数的奇偶性、单调性、周期性、连续性及可导性，连续性及可导性在前面导数部分中已经讲得很多了，下面我们着重复习其它三种性质。
   　　1。
  函数的奇偶性 　　如果对于函数f(x)的定义域的任意自变量值x都有f(-x)=f(x)，那么就称f(x)是偶函数； 　　如果对于函数f(x)的定义域的任意自变量值x都有f(-x)=-f(x)，那么就称f(x)是奇函数； 　　注意： 　　(1)判断函数奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称； 　　(2) 　　f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0 　　f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0 　　例1．判断下列函数的奇偶性 　　(1)f(x)=log2(1+4x)-x 　　解：定义域：R 　　f(-x)=log2(1+4-x)+x 　　 　　=log2(4x+1)-log24x+x 　　=log2(4x+1)-2x+x 　　=f(x) 　　∴f(x)为偶函数 　　。收起