素数

什么叫质数，什么叫素数？质数，素

素数，又称质数，是只能被1或者自己整除的自然数。 比1大但不是素数的数我们称之为合数，1和0即非素数也非合数。素数的属性称为素性，素数在数论中处于基本的重要地位。 关于素数 最小的素数是2，而最大的素数并不存在，这一点欧几里德已在其《几何原本》中证明。 围绕素数存在很多的数学问题、数学猜想、数学定理，较为著名的有孪生素数猜想、哥德巴赫猜想等等。 素数序列的开头是这样： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113 这个序列在OEIS中是A000040，...全部

  素数，又称质数，是只能被1或者自己整除的自然数。 比1大但不是素数的数我们称之为合数，1和0即非素数也非合数。素数的属性称为素性，素数在数论中处于基本的重要地位。 关于素数 最小的素数是2，而最大的素数并不存在，这一点欧几里德已在其《几何原本》中证明。
   围绕素数存在很多的数学问题、数学猜想、数学定理，较为著名的有孪生素数猜想、哥德巴赫猜想等等。 素数序列的开头是这样： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113 这个序列在OEIS中是A000040，素数集合有时也被表示成粗体 。
   在抽象代数的一个分支－环论中，素元素有特殊的含义，在这个含义下，任何素数的加法的逆转也是素数。换句话说，将整数Z的集合看成是一个环，-7是一个素元素。不管怎样，数学领域内，提到素数通常是指正素数。
   基本的算术原理证明，每个正整数都可以写成素数的乘积，因此素数也被称为自然数的"建筑的基石"例如： 如果感兴趣可以查看详细分解素数规则，练习分解比较大的数字。 这个原理的重要一点是，将1排斥在素数集合以外。
  如果1被认为是素数，那么这些严格的阐述就不得不加上一些限制条件了。 · 数个同样素数的成绩称为幂。 · 一个数恰好有三个因子称为sphenic numbers。 · 一个数有很多约数这个数是高度合数。
   有多少素数？ 素数是无穷多的，对这个论断，现在所已知的最古老的检验方法是欧几里德在他的几何原本中提出来的。他的检验方法可以简单地总结如下： 取有限个数的素数，因为要做自变量我们假设全部的素数都存在，将这些素数相乘然后加1，得到的数是不会被这些素数中的任何一个整除的，因为无论除哪个总会余1。
  因此这个数要么本身就是个素数，要么存在不在这个有限集合内的约数。因此我们开始用的集合不包含所有的素数。 别的数学家也给出了他们自己的证明，有一个人（应该就是欧拉)指出全部素数的倒数和发散到无穷的。
  Kummer的证明尤其简洁，Furstenberg用一般拓扑证明。 尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问"100000以下有多少个素数?"，"一个随机的100位数多大可能是素数?"。素数定理可以回答诸如此类的问题。
   寻找素数 寻找在给定限度内的素数排列，埃拉托斯特尼（Eratosthenes）筛法是个很好的方法。然而在实际中，我们往往是想知道一个给定数是否是素数，而不是生成一个素数排列。进而，知道答案是很高的概率就是已经很满意的了，用素性测试迅速地检查一个给定数（例如，有几千位数的长度）是否是素数是可能的。
  典型的方法是随机选取一个数，然后围绕着这个数和可能的素数N检查一些方程式。几个整数后，它宣布这个数是明显的和数或者可能是素数。这种方法是不完美的，一些测试，不论是否选取一个随机数都有可能将一些合数判断成可能的素数，这就引出了另一种数伪素数。
   目前最大的已知素数是225964951 - 1（此数字位长度是7,816,230），它是在2005年2月18日由GIMPS计划发现。这计划也在2004年5月15日发现了第二大的已知素数224036583 - 1（此数字位长度是7,235,733）。
   数学家一直努力找寻产生素数的公式，但截至目前为止，并没有一个函数或是多项式可以正确产生所有的素数。历史上有许多试验的例子：17世纪初法国数学家梅森(Mersenne)在他的一个著作当中讨论了这样一种我们现在称之为梅森素数的素数，Mp=2p - 1，本来以为只要p是一个素数，n = 2p - 1就会是一个素数，这在p = 3，p = 5，p = 7都是正确的，但是p = 11时 就不是素数了。
   检验素数 检查一个正整数N是否为素数，最简单的方法就是试除法，将该数N用小于等于 的所有素数去试除，若均无法整除，则N为素数。 未解之谜 · 哥德巴赫猜想：是否每个大于2的双数均可写成两个质数之和？ · 孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。
  是否存在无穷多的孪生素数？ · 斐波那契数列是否存在无穷多的素数？ · 是否存在无穷多梅森素数？ · 在n2与(n + 1)2之间每隔n就有一个素数？ · 是否存在无穷个形式如n2 + 1的素数？ · 黎曼猜想 · 是否存在不定长的素数算术级数？ 素数的应用 素数近来被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入素数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找素数的过程（分解质因数）过久而无法解读信息。
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