矩形问题矩形问题
求证: 对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于常数t (t≥1) 。
求证: 对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于常数t (t≥1) 。
证明 设矩形A及矩形B的长与宽分别为a，b及x，y。为证明满足要求的矩形B存在，只要证明方程组:[t,a,b均为已知]
x+y=t(a+b) ，
xy=tab。
有正数解即可。再由韦达定理，其解x，y可以看作二次方程:
z^2-t(a+b)z+tab=0 (1)
的两个根。下面证明这个二次方程必有两个正根。
因为t≥1，故其判别式:
Δ=t^2*(a+b)^2-4tab==t^2*(a-b)^2≥0
所以，方程有两个实根z1，z2。
又z1+z2=t(a+b)>0，z1*z2...全部
求证: 对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于常数t (t≥1) 。
证明 设矩形A及矩形B的长与宽分别为a，b及x，y。为证明满足要求的矩形B存在，只要证明方程组:[t,a,b均为已知]
x+y=t(a+b) ，
xy=tab。
有正数解即可。再由韦达定理，其解x，y可以看作二次方程:
z^2-t(a+b)z+tab=0 (1)
的两个根。下面证明这个二次方程必有两个正根。
因为t≥1，故其判别式:
Δ=t^2*(a+b)^2-4tab==t^2*(a-b)^2≥0
所以，方程有两个实根z1，z2。
又z1+z2=t(a+b)>0，z1*z2=tab>0，从而z1>0，z2>0。证毕。
。收起
