设正实数a、b、c满足abc=1
运用Holder LHS*((a+b)+(b+c)+(c+a))*(1+1+1)^(k-2)>=(a+b+c)^k 得到LHS>=(a+b+c)^(k-1)/[2*3^(k-2)] 由均值有:a+b+c>=3 得到: LHS>=(a+b+c)^(k-1)/[2*3^(k-2)]>=3/2
证明:
由均值不等式,得
a^k/(a+b)+(a+b)/4+1/2+1/2+。。。+1/2≥k*(a^k/2^k)^(1/k)
=ka/2
所以,
a^k/(a+b)≥kb/2-(a+b)/4-(k-2)/2 。
。。。。。(1)
同理,有
b^k/(b+c)≥kb/2-(b+c)/4-(k-2)/2 。 。。 。。(2)
c^k/(c+a)≥kc/2-(c+a)/4-(k-2)/2 。
。。。。。(3)
由(1)+(2)+(3)得
a^k/(a+b)+b^k/(b+c)+c^k/(c+a)
≥k(a+b+c)/2-(a+b+c)/2-
3(k-2)/2
=(k-1)(a+b+c)/2-3(k-2)/2
≥(k-1)/2*3(abc)^(1/3)-3(k-2)
=3/2。
故命题得证。
[展开]
a^k/(a+b)=[a^k+a^(k-1)b-a^(k-1)b]/(a+b)
=a^(k-1)-a^(k-1)b/(a+b)
=a^(k-1)-a^(k-2)ab/(a+b)
≥a^(k-1)-a^(k-2)(a+b)/4
=3a^(k-1)/4-a^(k-2)b/4
类似可得另外两式,于是
a^k/(a+b)+b^k/(b+c)+c^k/(c+a)
≥3[a^(k-1)+b^(k-1)+c^(k-1)]/4
-[a^(k-2)b+b^(k-2)c+c^(k-2)a]/4
而a^(k-1)+b^(k-1)+c^(k-1)≥a^(k-2)b+b^(k-2)c+c^(k-2)a
可以由排序不等式证明!
所以有
a^k/(a
+b)+b^k/(b+c)+c^k/(c+a)
≥[a^(k-1)+b^(k-1)+c^(k-1)]/2
≥3[a^(k-1)b^(k-1)c^(k-1)]^(1/3)/2
=3/2。
。
[展开]