数学中什么是外积
外积 把向量外积定义为: 大小:a×b=|a|·|b|·Sin. 方向:右手定则:若坐标系是满足右手定则的,设z=x×y,z的模长=x*y*sin(x,y)则x,y,z构成右手系,伸开右手手掌,四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面,则大拇指方向即为z正轴方向。 分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。 下面给出代数方法。我们假定已经知道了: 1)外积的反对称性: a×b=-b×a. 这由外积的定义是显然的。 2)内积(即数积、点积)的分配律: a·(b+c)=a·b+a·c, (a+b)·c=a·c+b·c. 这由内积的定义a·b=|a|·|b|·Cos,用投影的方法不难得到证明。 3)混合积的性质: 定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积,容易证明: i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积,其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正,左手系为负)。 从而就推出: ii)(a×b)·c=a·(b×c) 所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c). 由i)还可以推出: iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b) 我们还有下面的一条显然的结论: iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3,则a必为零矢量。 下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。 设r为空间任意矢量,在r·(a×(b+c))里,交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2),就有 r·(a×(b+c)) =(r×a)·(b+c) =(r×a)·b+(r×a)·c =r·(a×b)+r·(a×c) =r·(a×b+a×c) 移项,再利用数积分配律,得 r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0 这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv),这个矢量必为零矢量,即 a×(b+c)-(a×b+a×c)=0 所以有 a×(b+c)=a×b+a×c