如何求隐函数的导数
某人的答案----对于一个已经确定存在且可导的情况下,我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导,由于y其实是x的一个函数,所以可以直接得到带有y'的一个方程,然后化简得到y'的表达式。隐函数导数的求解一般可以采用以下方法:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导,再通过移项求得的值;把n元隐函数看作(n+1)元函数,通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。举个例子,若欲求z=f(x,y)的导数,那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式,然后通过(式中F'yF'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。设方程P(x,y)=0确定y是x的函数,并且可导.现在可以利用复合函数求导公式可求出隐函数y对x的导数.例1方程x2+y2-r2=0确定了一个以x为自变量,以y为因变量的数,为了求y对x的导数,将上式两边逐项对x求导,并将y2看作x的复合函数,则有(x2)+(y2)-(r2)=0,即2x+2y=0,于是得.从上例可以看到,在等式两边逐项对自变量求导数,即可得到一个包含y¢的一次方程,解出y¢,即为隐函数的导数.例2求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数.解:将方程两边同时对x求导,得2yy¢=2p,解出y¢即得.例3求由方程y=xlny所确定的隐函数y=f(x)的导数.解:将方程两边同时对x求导,得y¢=lny+x××y¢,解出y¢即得.例4由方程x2+xy+y2=4确定y是x的函数,求其曲线上点(2,-2)处的切线方程.解:将方程两边同时对x求导,得2x+y+xy¢+2yy¢=0,解出y¢即得.所求切线的斜率为k=y¢|x=2,y=-2=1,于是所求切线为y-(-2)=?×(x-2),即y=x-4.