双曲线为什么a平方+b平方=c平方
这是双曲线的定义有关双曲线的第二定义:平面内一个动点(x,y)到一个定点(c,0)与一条定直线(x=a^2/c)的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。设动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,则由|MF|/d=e>1.推导出的双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/(c^2-a^2)=1其中c^2-a^2=b^2所以有c^2=a^2+b^2数学上指一动点移动于一个平面上,与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a1}表示的点集是双曲线.注意:定点F要在定直线外且比值大于1.3.标准方程设动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,则由|MF|/d=e>1.推导出的双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程.而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为:(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.双曲线的简单几何性质1、轨迹上一点的取值范围:x≥a,x≤-a(焦点在x轴上)或者y≥a,y≤-a(焦点在y轴上)。2、对称性:关于坐标轴和原点对称。3、顶点:A(-a,0),A’(a,0)。同时AA’叫做双曲线的实轴且∣AA’│=2a.B(0,-b),B’(0,b)。同时BB’叫做双曲线的虚轴且│BB’│=2b.4、渐近线:焦点在x轴:y=±(b/a)x.焦点在y轴:y=±(a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线。其中p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角。θ=arccos(1/e)令θ=0,得出ρ=ep/1-e,x=ρcosθ=ep/1-e令θ=PI,得出ρ=ep/1+e,x=ρcosθ=-ep/1+e这两个x是双曲线定点的横坐标。求出他们的中点的横坐标(双曲线中心横坐标)x=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2(注意化简一下)直线ρcosθ=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴。将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’则θ’=θ-【PI/2-arccos(1/e)】则θ=θ’+【PI/2-arccos(1/e)】带入上式:ρcos{θ’+【PI/2-arccos(1/e)】}=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2即:ρsin【arccos(1/e)-θ’】=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2现在可以用θ取代式中的θ’了得到方程:ρsin【arccos(1/e)-θ】=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/25、离心率:第一定义:e=c/a且e∈(1,+∞).第二定义:双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线(相应准线)的距离d的比等于双曲线的离心率e.6、双曲线焦半径公式(圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离)右焦半径:r=│ex-a│左焦半径:r=│ex+a│7、等轴双曲线一双曲线的实轴与虚轴长相等即:2a=2b且e=√28、共轭双曲线双曲线S’的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S’的虚轴是双曲线S的实轴时,称双曲线S’与双曲线S为共轭双曲线。几何表达:S:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1S’:(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1特点:(1)共渐近线(2)焦距相等(3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于19、准线:焦点在x轴上:x=±a^2/c焦点在y轴上:y=±a^2/c10、通径长:(圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦)d=2b^2/a11、过焦点的弦长公式:d=2pe/(1-e^2cos^2θ)或2p/sin^2θ[p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角]12、弦长公式:d=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^2)(y1-y2)^2推导如下:由直线的斜率公式:k=(y1-y2)/(x1-x2)得y1-y2=k(x1-x2)或x1-x2=(y1-y2)/k分别代入两点间的距离公式:|AB|=√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]稍加整理即得:|AB|=|x1-x2|√(1+k2)或|AB|=|y1-y2|√(1+1/k2)[编辑本段]·双曲线的标准公式与反比例函数X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)而反比例函数的标准型是xy=c(c≠0)但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的因为xy=c的对称轴是y=x,y=-x而X^2/a^2-Y^2/b^2=1的对称轴是x轴,y轴所以应该旋转45度设旋转的角度为a(a≠0,顺时针)(a为双曲线渐进线的倾斜角)则有X=xcosa+ysinaY=-xsina+ycosa取a=π/4则X^2-Y^2=(xcos(π/4)+ysin(π/4))^2-(xsin(π/4)-ycos(π/4))^2=(√2/2x+√2/2y)^2-(√2/2x-√2/2y)^2=4(√2/2x)(√2/2y)=2xy.而xy=c所以X^2/(2c)-Y^2/(2c)=1(c>0)Y^2/(-2c)-X^2/(-2c)=1(c<0)由此证得,反比例函数其实就是双曲线函数