常微分方程王高雄第三版答案要准确
习题2.2
求下列方程的解
1. =
解: y=e ( e )
=e [- e ( )+c]
=c e - ( )是原方程的解。
2. +3x=e
解:原方程可化为: =-3x+e
所以:x=e ( e e )
=e ( e +c)
=c e + e 是原方程的解。
3. =-s +
解:s=e ( e )
=e ( )
= e ( )
= 是原方程的解。
4. , n为常数.
解:原方程可化为:
是原方程的解.
5. + =
解:原方程可化为: =-
( )
= 是原方程的解.
13
这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以 ,
令
P(x)= Q(x)=-1
由一阶线性方程的求解公式
=
14
两边同乘以
令
这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以 令
P(x)= Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
15
这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以
令
= P(y)=-2y Q(y)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
16 y= +
P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式
=
=
c=1
y=
习题2.3
1、验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解。
1.
解: , =1 .
则
所以此方程是恰当方程。
凑微分,
得 :
2.
解: , .
则 .
所以此方程为恰当方程。
凑微分,
得
3.
解:
则 .
因此此方程是恰当方程。
(1)
(2)
对(1)做 的积分,则
= (3)
对(3)做 的积分,则
=
=
则
故此方程的通解为
4、
解: , .
.
则此方程为恰当方程。
凑微分,
得 :
5.( sin - cos +1)dx+( cos - sin + )dy=0
解: M= sin - cos +1 N= cos - sin +
=- sin - cos - cos + sin
=- sin - cos - cos + sin
所以, = ,故原方程为恰当方程
因为 sin dx- cos dx+dx+ cos dy- sin dy+ dy=0
d(-cos )+d (sin )+dx+d(- )=0
所以,d(sin -cos +x - )=0
故所求的解为sin -cos +x - =C
求下列方程的解:
6.2x(y -1)dx+ dy=0
解: = 2x , =2x
所以, = ,故原方程为恰当方程
又2xy dx-2xdx+ dy=0
所以,d(y -x )=0
故所求的解为y -x =C
7.(e +3y )dx+2xydy=0
解:e dx+3y dx+2xydy=0
e x dx+3x y dx+2x ydy=0
所以,d e ( x -2x+2)+d( x y )=0
即d [e ( x -2x+2)+ x y ]=0
故方程的解为e ( x -2x+2)+ x y =C
8. 2xydx+( x +1)dy=0
解:2xydx+ x dy+dy=0
d( x y)+dy=0
即d(x y+y)=0
故方程的解为x y+y=C
9、
解:两边同除以 得
即,
故方程的通解为
10、
解:方程可化为:
即,
故方程的通解为: 即:
同时,y=0也是方程的解。
11、
解:方程可化为:
即:
故方程的通解为:
12、
解:方程可化为:
故方程的通解为 : 即:
13、
解:这里 ,
方程有积分因子
两边乘以 得:方程 是恰当方程
故方程的通解为:
即:
14、
解:这里
因为
故方程的通解为:
即:
15、
解:这里
方程有积分因子: 两边乘以 得:
方程 为恰当方程
故通解为 :
即:
16、
解:两边同乘以 得:
故方程的通解为:
习题2.5
2.
解:两边同除以 ,得:
即
4.
解:两边同除以 ,得
令
则
即
得到 ,
即
另外 也是方程的解。
6.
解:
得到
即
另外 也是方程的解。
8.
解:令
则:
即
得到
故
即
另外 也是方程的解。
10.
解:令
即
而 故两边积分得到
因此原方程的解为 , 。
12.
解:
令
则
即
故方程的解为
14.
解: 令
则
那么
求得:
故方程的解为
或可写 为
16.
解:令 则
即方程的解为
18.
解: 将方程变形后得
同除以 得:
令 则
即原方程的解为
19.X(
解:方程可化为2y(
令
27.
解: 令 , ,则
, ,
,
两边积分得
即为方程的通解。
另外, ,即 也是方程的解。
28.
解: 两边同除以 ,方程可化为:
令 ,则
即 ,
两边积分得
即
为方程的解。
29.
解: 令 ,则 ,
,
那么
即
两边积分得
即为方程的解。
30.
解: 方程可化为
两边积分得
即
为方程的解。
31.
解: 方程可化为
两边同除以 ,得
即
令 , ,则
即
两边积分得 .将 代入得,
即
故
32.
解: 方程可化为 两边同加上 ,得 (*)
再由 ,可知
(**)
将(*)/(**)得
即
整理得
两边积分得 即
另外, 也是方程的解。
33. 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动,全速时停止了发动机,过了20秒钟后,艇的速度减至 米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。
解: ,又 ,由此
即
其中 ,解之得
又 时, ; 时, 。
故得 ,
从而方程可化为
当 时,有 米/秒
即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速
习题4.1
1. 设 和 是区间 上的连续函数,证明:如果在区间 上有 常数或 常数,则 和 在区间 上线形无关。
证明:假设在 , 在区间 上线形相关
则存在不全为零的常数 , ,使得
那么不妨设 不为零,则有
显然 为常数,与题矛盾,即假设不成立 , 在区间 上线形无关
2. 证明非齐线形方程的叠加原理:设 , 分别是非齐线形方程
(1)
(2)
的解,则 + 是方程 + 的解。
证明:由题可知 , 分别是方程(1),(2)的解
则: (3)
(4)
那么由(3)+(4)得:
+
即 + 是方程是 + 的解。
3. 试验证 0的基本解组为 ,并求方程 的通解。
证明:由题将 代入方程 0得: - =0,即 是该方程的解,
同理求得 也是该方程的解
又显然 线形无关,故 是 0的基本解组。 由题可设所求通解为: ,则有:
解之得:
故所求通解为:
4. 试验证 0有基本解组t, ,并求方程
t-1的通解。
解:由题将t代入方程 0得:
,即t为该方程的解
同理 也是该方程的解,又显然t, 线形无关,故t, 是方程 0的基本解组
由题可设所求通解为 ,则有:
解之得:
故所求通解为
5. 以知方程 0的基本解组为 ,求此方程适合初始条件 的基本解组(称为标准基本解组,即有 )并求出方程的适合初始条件 的解。
解: 时间方程 0的基本解组,故存在常数 使得:
于是:
令t=0,则有方程适合初始条件 ,于是有:
解得: 故
又该方程适合初始条件 ,于是:
解得: 故
显然 , 线形无关,所以此方程适合初始条件的基本解组为:
,
而此方程同时满足初始条件 ,于是:
解得:
故 满足要求的解。
习题4.2
1. 解下列方程
(1)
解:特征方程
故通解为x=
(2) 解:特征方程
有三重根 .故通解为x=
(3)
解:特征方程 ,有三重根 , 2, -2
故通解为
(4)
解:特征方程 有复数根 -1+3i, -1-3i
故通解为
(5)
解:特征方程 有复数根
故通解为
(6)
解:特征方程 有根 a, -a
当 时,齐线性方程的通解为s=
代入原方程解得
故通解为s= -
当a=0时, 代入原方程解得
故通解为s= -
(7)
解:特征方程 有根 2,两重根 1
齐线性方程的通解为x=
又因为 0不是特征根,故可以取特解行如 代入原方程解得A=-4,B=-1
故通解为x= -4-t
(8)
解:特征方程
故齐线性方程的通解为x=
取特解行如 代入原方程解得A=1,B=0,C=1
故通解为x= +
(9)
解:特征方程 有复数根
故齐线性方程的通解为
取特解行如 代入原方程解得A=
故通解为
(10)
解:特征方程 有根 -2, 1
故齐线性方程的通解为x=
因为+-2i不是特征根
取特解行如 代入原方程解得A=
故通解为x=
(11)
解:特征方程 有复数根
故齐线性方程的通解为 1是特征方程的根,故 代入原方程解得A=
故通解为 +
(12)
解:特征方程 有2重根 -a
当a=-1时,齐线性方程的通解为s= ,
1是特征方程的2重根,故 代入原方程解得A=
通解为s= ,
当a -1时,齐线性方程的通解为s= ,
1不是特征方程的根,故 代入原方程解得A=
故通解为s= +
(13)
解:特征方程 有根 -1, -5
故齐线性方程的通解为x=
2不是特征方程的根,故 代入原方程解得A=
故通解为x= +
(14)
解:特征方程 有根 -1+ i, -1- i
故齐线性方程的通解为
不是特征方程的根, 取特解行如 代入原方程解得A=
故通解为 +
(15)
解:特征方程 有根 i, - i
故齐线性方程的通解为
, i,是方程的解 代入原方程解得
A= B=0 故
代入原方程解得
A= B=0 故
故通解为
习题5.1
1.给定方程组
x = x x= (*)
a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组(*)的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解.
b)试验证w(t)=c u(t)+c v(t)是方程组(*)的满足初始条件w(0)= 的解,其中 是任意常数.
解:a) u(0)= =
u (t)= = u(t)
又 v(0)= =
v (t)= = = v(t)
因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.
b) w(0)= u(0)+ u(0)= + =
w (t)= u (t)+ v (t)
= +
=
=
= w(t)
因此 w(t)是给定方程初值问题的解.
2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题:
a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2
b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0
c)
x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1
解:a)令 x =x, x = x , 得
即
又 x =x(1)=7 x (1)= x (1)=-2
于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题:
x = x(1)=
其中 x= .
b) 令 =x = = = 则得:
且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2,
(0)= (0)=0
于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题:
= x(0)= , 其中 x= .
c) 令w =x, w = ,w =y,w =y ,则原初值问题可化为:
且
即 w
w(0)= 其中 w=
习题5.2
1.试验证 =
是方程组x = x,x= ,在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
解:令 的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故 (t)是一个解。同样如果以 (t)表示 第二列,我们有 (t)= = (t)这样 (t)也是一个解。因此 是解矩阵。又因为det =-t 故 是基解矩阵。
3.设A(t)为区间a 上的连续n n实矩阵, 为方程x =A(t)x的基解矩阵,而x= (t)为其一解,试证:
a) 对于方程y =-A (t)y的任一解y= (t)必有 (t) (t)=常数;
b) (t)为方程y =-A (t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C,使 (t) (t)=C.
解a)[ (t) (t)] = (t)+ (t)= (t)+ (t)A(t)
又因为 =-A (t) (t),所以 =- (t) A(t)
[ (t) (t)] =- (t) (t)A(t)+ (t) A(t) (t)=0,
所以对于方程y =-A (t)y的任一解y= (t)必有 (t) (t)=常数
b) “ ”假设为方程y =-A (t)y的基解矩阵,则
[ (t) (t)] = [ (t)] + (t) (t)=[- A (t) (t)] + (t) A (t) ) + (t)[ A(t) (t)]=- (t) A (t) + (t) A (t) =0,故 (t) (t)=C
“ ”若存在非奇异常数矩阵C,detc 0,使 (t) (t)=C,
则[ (t) (t)] = (t)+ (t)=0,故 (t) (t)=- (t) (t)A(t) (t)=- (t) A(t) 所以 (t)=- (t) A(t), (t)=- (t) A (t)即 (t)为方程y =-A (t)y的基解矩阵
8、试求 ,其中
满足初始条件
的解 。
解:由第7题可知 的基解矩阵
则
若方程满足初始条件
则有
若
则有 习题5.3
1、 试证:如果 是 =Ax满足初始条件 = 的解,那么
=[expA(t-t )]
证明:由定理8可知 =Ф(t)Ф-1(t0) +Ф(t)
又因为Ф(t)= expAt , Ф-1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,
又因为矩阵 (At)•(- At0)=(- At0)•(At)
所以 =[expA(t-t )]
5、试求方程组 =Ax的基解矩阵,并求满足初始条件
C) 由3(c)可知,矩阵A的特征值为 =3, =-1(二重)
对应的特征向量为u1= ,u2=
∴ = +
解得
=
6、 求方程组 =Ax+f(t)的解 :
解:a)令 =Ax的基解矩阵为Ф(t)
解得Ф(t)= , 则Ф-1(t)=
Ф-1(0)=
求得 =
7、 假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐线性方程组
有一解形如
其中c,p是常数向量。
证:要证 是否为解,就是能否确定常数向量p
则p(mE-A)=c
由于m不是A的特征值
故
mE-A存在逆矩阵
那么p=c(mE-A)-1 这样方程就有形如 的解
习题6.3
1. 试求出下列方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态
(1)
解: 由 得奇点(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2)
对于奇点(0,0), A= 由 =0得 =1>0, =1/2>0
所以不稳定
对于奇点(0,2),令X=x,Y=y-2, 则A= 得 =-1, =-1/2
所以渐进稳定
同理可知,对于奇点(1,0),驻定解渐进稳定
对于奇点(1/2,1/2),驻定解渐进不稳定