如何求半圆内的梯形面积

几何以半径为R的半圆的直径为底作一内接等腰梯形，问如何作，使得梯形面积最大？最大面积是多少？

设梯形为ABCD（逆时针标注），其中AB为半圆直径2R 设∠BOC=∠AOD=x 则梯形高h=R*sinx 上底a=2R*cosx 下底b=2R 梯形面积为2R^2(1+cosx)sinx (1+cosx)sinx =4[cos(x/2)]^3*sin(x/2)……应用二倍角公式 =(4/√3)[cos(x/2)]^3*[√3sin(x/2)] ≤(4/√3)*{√[[3(cos(x/2))^2+3(sin(x/2)^2)]/4]}^4 （几何平均值≤平方平均值） =(4/√3)*(9/16) =3√3/4 所以梯形面积最大为(3√3/2)R^2 等号成立条件为cos(x/2)=√3sin...全部

  设梯形为ABCD（逆时针标注），其中AB为半圆直径2R 设∠BOC=∠AOD=x 则梯形高h=R*sinx 上底a=2R*cosx 下底b=2R 梯形面积为2R^2(1+cosx)sinx (1+cosx)sinx =4[cos(x/2)]^3*sin(x/2)……应用二倍角公式 =(4/√3)[cos(x/2)]^3*[√3sin(x/2)] ≤(4/√3)*{√[[3(cos(x/2))^2+3(sin(x/2)^2)]/4]}^4 （几何平均值≤平方平均值） =(4/√3)*(9/16) =3√3/4 所以梯形面积最大为(3√3/2)R^2 等号成立条件为cos(x/2)=√3sin(x/2) 得到x=60度 要梯形面积最大，只需过圆心O作OC,OD使 ∠BOC=∠AOD=60度即可。
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