微分方程应用题数学设连接两点A（
题目意思有两种不同理解有争议，如果凸弧专指上凸弧，则如以下的（1），如果凸弧指上凸弧和下凸弧，则如以下的（1）（2），不同的教材说法不同，楼主自行斟酌
令y＝f(x)，0≤x≤1，要求凸弧故f''(x)恒正或恒负
梯形下底OA＝1，上底PH＝f(x)，高为OH＝x，梯形面积S1＝x/2[1+f(x)]
则凸弧与PH、OH、OA间的面积S2＝∫f(t)dt
由题意有 ∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]＝x^3或∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]＝-x^3
（１）凸弧上凸，∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]＝x^3
两边微分，f(x)-1/2[f(x)+1+xf'(x)]＝3x^2...全部
题目意思有两种不同理解有争议，如果凸弧专指上凸弧，则如以下的（1），如果凸弧指上凸弧和下凸弧，则如以下的（1）（2），不同的教材说法不同，楼主自行斟酌
令y＝f(x)，0≤x≤1，要求凸弧故f''(x)恒正或恒负
梯形下底OA＝1，上底PH＝f(x)，高为OH＝x，梯形面积S1＝x/2[1+f(x)]
则凸弧与PH、OH、OA间的面积S2＝∫f(t)dt
由题意有 ∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]＝x^3或∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]＝-x^3
（１）凸弧上凸，∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]＝x^3
两边微分，f(x)-1/2[f(x)+1+xf'(x)]＝3x^2
f'-(1/x)f＝-6x-1/x
按公式或先求齐次再常数变易法求得通解 f(x)＝-6x^2+1+cx
初始条件f(1)＝0，-6+1+c＝0，得c＝5，凸弧为f(x)＝-6x^2+5x+1
（2）凸弧下凸，∫f(t)dt-x/2[1+f(x)]＝-x^3
两边微分，f(x)-1/2[ f(x)+1+xf'(x)]＝-3x^2
f'-(1/x)f＝6x-1/x
f(x)＝6x^2+1+cx
初始条件f(1)＝0，6+1+c＝0，得c＝-7，凸弧为f(x)＝6x^2-7x+1
综上所述，所求凸弧有两条，分别为
f(x)＝-6x^2+5x+1和f(x)＝6x^2-7x+1。
收起
