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求级数的和的方法总结

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2021-03-16

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    倒序相加法(等差数列前n项和公式推导方法),错位相减法(等比数列前n项和公式推导方法),分组求和法,拆项求和法,叠加求和法,数列求和关键是分析其通项公式的特点:一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。
    等差数列的前n项和公式:Sn= Sn= Sn=,当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式。等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k,(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q≠1时,Sn= Sn=,有关等差、等比数列的结论:等差数列{an}中,若m+n=p+q,则,等比数列{an}中,若m+n=p+q,则,两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
    两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列。{an bn}、仍为等比数列。等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
  三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,a+d,a+3d。  三个数成等比的设法:a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?),{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列。
  {bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。在等差数列中:(1)若项数为,则(2)若数为 则,在等比数列 中:(1) 若项数为,则,(2)若数为, 则,数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
    关键是找数列的通项结构。
     分组法求数列的和:如an=2n+3n,错位相减法求和:如an=(2n-1)2n,裂项法求和:如an=1/n(n+1),倒序相加法求和:如an=求数列{an}的最大、最小项的方法:① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3,② (an>0) 如an=,③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=,在等差数列中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求。

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