收敛数列求和
先写出一般项a1=1,an=(2n+1)!!/{[4^(n-1)]*(n-1)!}(n>=2)
!!表示隔一个相乘,一直乘到最后。如5!!=5*3*1,6!!=6*4*2
这种形式只能是(1-x)^(-a)(x,a>0且a为分数),收敛区间(-1,1)的幂级数展开一般式。
由n=2,3时,得ax=3/4,(-a)(-a-1)(x^2)/2!=3/4*5/8
解得x=1/2,a=3/2
整理一下,(1-1/2)^(-3/2)展开式的确是an(因为刚才只求了有限项,所以还得验证一下)
因此S=(1-1/2)^(-3/2)=2根号2
可能你还是不太明白我为什么会这么想,那么请看下面这道题:
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先写出一般项a1=1,an=(2n+1)!!/{[4^(n-1)]*(n-1)!}(n>=2)
!!表示隔一个相乘,一直乘到最后。如5!!=5*3*1,6!!=6*4*2
这种形式只能是(1-x)^(-a)(x,a>0且a为分数),收敛区间(-1,1)的幂级数展开一般式。
由n=2,3时,得ax=3/4,(-a)(-a-1)(x^2)/2!=3/4*5/8
解得x=1/2,a=3/2
整理一下,(1-1/2)^(-3/2)展开式的确是an(因为刚才只求了有限项,所以还得验证一下)
因此S=(1-1/2)^(-3/2)=2根号2
可能你还是不太明白我为什么会这么想,那么请看下面这道题:
将arcsinx展成x的幂级数
(arcsinx)`=(1-x^2)^(-1/2)
=1+Σ(n=1->∞)[(2n-1)!!*x^(2n)]/(2n)!!
arcsinx
=arcsin0+∫{1+Σ(n=1->∞)[(2n-1)!!*t^(2n)]/(2n)!!}dt
=x+Σ(n=1->∞)[(2n-1)!!*x^(2n+1)]/[(2n)!!(2n+1)]
见的题多了自然就有思路了,以后这类题你还是到教育-考研-数学里去问,这样比较容易得到回复。
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