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方差的性质

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2021-01-19

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    方差是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数,用字母D表示。在概率论和数理统计中,方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。在许多实际问题中,研究随机变量和均值之间的偏离程度有着重要意义。
  方差的定义:设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]2}存在,则称E{[X-E(X)]2}为X的方差,记为D(X),Var(X)或DX。  即D(X)=E{[X-E(X)]2}称为方差,而σ(X)=D(X)0。
  5(与X有相同的量纲)称为标准差(或均方差)。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。(标准差、方差越大,离散程度越大。否则,反之)若X的取值比较集中,则方差D(X)较小,若X的取值比较分散,则方差D(X)较大。
    因此,D(X)是刻画X取值分散程度的一个量,它是衡量取值分散程度的一个尺度。方差的性质:(1)设c是常数,则D(c)=0。(2)设X是随机变量,c是常数,则有D(cX)=c2D(X)。
  (3)设 X 与 Y 是两个随机变量,则D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)D(X -Y)= D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)特别的,当X,Y是两个不相关的随机变量则D(X+Y)=D(X)+D(Y),D(X-Y)=D(X)+D(Y),此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。
    (4)D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c,即X=c,a。s。其中E(X)=c。(5)D(aX+bY)=a2DX+b2DY+2abCov(X,Y)。

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