AD是三角形ABC的角平分线,D
解:一方面,BC^2=(BD+DC)^2=BD^2+DC^2+2*BD*DC;
另一方面,由余弦定理,可得BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos∠BAC,
故得AB^2+AC^2-BD^2-DC^2=2*AB*AC*cos∠BAC+2*BD*DC (*)
由角平分线定义,设∠BAD=∠DAC=α,
又由余弦定理,得BD^2=AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosα (1)
DC^2=AC^2+AD^2-2*AC*AD*cosα (2)
故(1)+(2),整理后,得AB^2+AC^2-BD^2-DC^2=2*AD*cosα*(AB+AC)-2*A...全部
解:一方面,BC^2=(BD+DC)^2=BD^2+DC^2+2*BD*DC;
另一方面,由余弦定理,可得BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos∠BAC,
故得AB^2+AC^2-BD^2-DC^2=2*AB*AC*cos∠BAC+2*BD*DC (*)
由角平分线定义,设∠BAD=∠DAC=α,
又由余弦定理,得BD^2=AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosα (1)
DC^2=AC^2+AD^2-2*AC*AD*cosα (2)
故(1)+(2),整理后,得AB^2+AC^2-BD^2-DC^2=2*AD*cosα*(AB+AC)-2*AD^2 (**)
由(*)和(**)式,整理可得AD*cosα*(AB+AC)-AD^2=AB*AC*cos∠BAC+BD*DC
又cos∠BAC=cos2α=2*(cosα)^2-1
代入上式,得AD*cosα*(AB+AC)-AD^2=2*AB*AC*(cosα)^2-AB*AC+BD*DC
化简,即AD^2-AB*AC+BD*DC=AD*cosα*(AB+AC)-2*AB*AC*(cosα)^2 (***)
考虑(***)式右边=AD*cosα*(AB+AC)-2*AB*AC*(cosα)^2=cosα*(AD*AB+AD*AC-2*cosα*AB*AC)=cosα*AB*AC*(AD/AC+AD/AB-2*cosα)
由正弦定理,知AD/AC=sic∠C/sin∠ADC,
AD/AB=sic∠B/sin∠ADB。
又sin∠ADC=sin∠ADB,设为k
故(***)式右边=cosα*AB*AC*(sic∠C/sin∠ADC+sic∠B/sin∠ADB-2*cosα)=cosα*AB*AC/k*(sic∠C+sic∠B-2*cosα*k)
又sic∠C=sin(α+∠ADC)=sinα*cos∠ADC+cosα*sin∠ADC
sic∠B=sin(α+∠ADB)=sinα*cos∠ADB+cosα*sin∠ADB
且cos∠ADC=-cos∠ADB
故sic∠C+sic∠B=2*cosα*k
即(***)式右边=0
即AD^2-AB*AC+BD*DC=0。
收起