已知数列{An}中,A1=a>0,An+1=An-(1/An)其中n∈N正.若A3>0,求a的取值范围注意:An+1是指脚标n+1不是(An)+1
由An+1=An-(1/An)
得A2=A1-(1/A1)
=a-(1/a)
=(a+1)(a-1)/a
A3=A2-(1/A2)
=[(a+1)(a-1)/a]-[a/(a+1)(a-1)]
=[(a^2+a-1)(a^2-a-1)]/[a(a+1)(a-1)]
由条件A3>0, 即[(a^2+a-1)(a^2-a-1)]/[a(a+1)(a-1)]>0
考虑到a>0,解上面不等式,有
a>(1+√5)/2或0<a<1。
A1=a;A2=a-1/a=(a^2-1)/a;
A3=(a^2-1)/a-a/(a^2-1)
=[(a^2-1)^2-a^2]/[a(a^2-1)]
=[(a^2+a-1)(a^2-a-1)]/[a(a+1)(a-1)]
>0
a^2+a-1=[aa+(1+5^。
5)/2]*[a+(1-5^。5)/2]
a^2-a-1=[a-(1+5^。5)/2]*[a-(1-5^。5)/2]
因为,商式大于零等价于“分子、分母之积大于零”。
于是可以运用“零点分区法”来解决问题。
因为:(-1-5^。5)/20
-10
00
1(1+5^。 5)/2。。。。。。。。。。。。A3>0
使得A3>0的a的范围是:
((-1-5^。
5)/2,-1)并((1-5^。5)/2,0)并((-1+5^。5)/2,1)并((1+5^。5)/2,+无穷)
。
A1=a,A2=a-(1/a),A3=[a-(1/a)]-1/[a-(1/a)]
A3>0,[a-(1/a)]-1/[a-(1/a)]>0
当a-(1/a)>0时,a^2>1,a>1,
[a-1/a]^2>1,a-1/a>1,a^2-a-1>0,
[a-(1+genhao5)/2][a-(1-genhao5)/2]>0,
a-(1+genhao5)/2>0,a>(1+genhao5)/2
当a-(1/a)o,0(1+genhao5)/2或0<a<1。
A2=a-1/a,A3=a2-1/a2=[(a^2+a-1)(a^2-a-1)]/[a(a+1)(a-1)]0,a+1>0, 1)a>1:无解。 2)a<1:0<a<(5^.5-1)/2.a的取值范围 是0<a<(5^.5-1)/2.