听说有个叫什么海伦公式的，是怎样的啊
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 而公式里的s： s=frac{a b c} 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。 比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 [编辑]证明...全部
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 而公式里的s： s=frac{a b c} 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 [编辑]证明 与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为 cos(C) = frac{a^2 b^2-c^2} 从而有 sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 2a^2b^2 2b^2c^2 2c^2a^2} } 因此三角形的面积S为 S = fracab sin(C) = fracsqrt{-a^4 -b^4 -c^4 2a^2b^2 2b^2c^2 2c^2a^2} = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 最后的等号部分可用因式分解予以导出。
收起
