高一函数题已知f(x)=(x+a
已知f(x)=(x+a)/(x2+bx+1)是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性,并证明你的结论。
因为f(x)=(x+a)/(x^2+bx+1)
所以:f(-x)=(-x+a)/[(-x)^2+b(-x)+1]=(-x+a)/(x^2-bx+1)
而f(x)为奇函数
所以:f(-x)=-f(x)
即:(-x+a)/(x^2-bx+1)=-(x+a)/(x^2+bx+1)对于任意属于[-1,1]的x均成立
===> (x-a)/(x^2-bx+1)=(x+a)/(x^2+bx+1)
===> (x-a)(x^2+bx+1)=(x+a)(x^2-bx+1)
===> x^3+...全部
已知f(x)=(x+a)/(x2+bx+1)是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性,并证明你的结论。
因为f(x)=(x+a)/(x^2+bx+1)
所以:f(-x)=(-x+a)/[(-x)^2+b(-x)+1]=(-x+a)/(x^2-bx+1)
而f(x)为奇函数
所以:f(-x)=-f(x)
即:(-x+a)/(x^2-bx+1)=-(x+a)/(x^2+bx+1)对于任意属于[-1,1]的x均成立
===> (x-a)/(x^2-bx+1)=(x+a)/(x^2+bx+1)
===> (x-a)(x^2+bx+1)=(x+a)(x^2-bx+1)
===> x^3+(b-a)x^2+(1-ab)x-a=x^3+(a-b)x^2+(1-ab)x+a
===> (b-a)x^2=a
上式对于任意x∈[-1,1]均成立
所以,b-a=0
所以,a=b=0
那么,f(x)=x/(x^2+1)
令-1<x1<x2<1
则:f(x1)-f(x2)=[x1/(x1^2+1)]-[x2/(x2^2+1)]
=[x1(x2^1+1)-x2(x1^2+1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=[x1x2^2+x1-x2x1^2-x2]]/[(x1^2+1)(x2^1+1)]
=[x1x2(x2-x1)-(x2-x1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=[(x2-x1)(x1x2-1)]/[(x1^2+1)(x2^1+1)]
因为-1<x1<x2<1
所以:x2-x1>0,x1*x2-1<0,[(x1^2+1)(x2^1+1)]>0
所以,f(x1)-f(x2)<0
所以,f(x)为增函数。收起