已知a,b,c是满足:a^2=b^2+c^2的正数.求证
7(a^3+b^3+c^3)>=(2√2+1)*[(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2]
楼上证明不错的,下面给出两种不同证法。
已知a,b,c是满足:a^2=b^2+c^2的正数。求证
7(a^3+b^3+c^3)>=(2√2+1)*[(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2]
证法一
因为a,b,c是正数,且有a^2=b^2+c^2。
所以以a,b,c为边可构成一直角三角形,a边是斜边。
又 a=√(b^2+c^2)>=(b+c)/√2
记T=7(a^3+b^3+c^3)-(2√2+1)*[(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2]
则有
T=(6-2√2)a(b^2+c^2)+(6-2√2)(b^3+c^3)-(4√2+2)bc(b+c)
≥(...全部
楼上证明不错的,下面给出两种不同证法。
已知a,b,c是满足:a^2=b^2+c^2的正数。求证
7(a^3+b^3+c^3)>=(2√2+1)*[(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2]
证法一
因为a,b,c是正数,且有a^2=b^2+c^2。
所以以a,b,c为边可构成一直角三角形,a边是斜边。
又 a=√(b^2+c^2)>=(b+c)/√2
记T=7(a^3+b^3+c^3)-(2√2+1)*[(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2]
则有
T=(6-2√2)a(b^2+c^2)+(6-2√2)(b^3+c^3)-(4√2+2)bc(b+c)
≥(3√2-2)(b+c)(b^2+c^2)+(6-2√2)(b^3+c^3)-(4√2+2)bc(b+c)
=(4+√2)(b^3+c^3)-(4+√2)bc(b+c)
=(4+√2)(b+c)(b-c)^2≥0
证法二
因为a,b,c是正数,且有a^2=b^2+c^2。
所以以a,b,c为边可构成一直角三角形,a边是斜边。
记s,R,r分别是该直角三角形的半周长,外接圆与内切圆半径。
根据已知恒等式:
a^3+b^3+c^3=2s(s^2-6Rr-3r^2)
(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2=2s(s^2-2Rr+r^2)。
代入整理得:
(3-√2)s^2≥2(10-√2)Rr+(11+√2)r^2 (5)
(5)式
s^2≥(8+2√2)Rr+(5+2√2)r^2 (6)
因为s=2R+r,代入(6)得:
2R^2-(2+√2)Rr-(2+√2)r^2≥0 (7)
(7)式分解为:
[R-(1+√2)r](2R+√2r)≥0 (8)
因为在直角三角形中,R≥(1+√2)r
所以(8)式成立。
。收起
