向量向量内积和外积的公式分别是？
向量外积 把向量外积定义为： |a × b| = |a|•|b|•Sin。 方向根据右手法则确定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心向b，那么大拇指方向就是垂直于该平面的方向，被规定为外积的方向。 向量外积的代数运算形式为： | e(i) e(j) e(k) | a × b=| x(a) y(a) z(a) | | x(b) y(b) z(b) | 这个行列式，按照第一行展开。 e表示标准单位基。 分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。 下面给出代数方法。我们假定已经知道了：...全部
向量外积 把向量外积定义为： |a × b| = |a|•|b|•Sin。 方向根据右手法则确定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心向b，那么大拇指方向就是垂直于该平面的方向，被规定为外积的方向。
向量外积的代数运算形式为： | e(i) e(j) e(k) | a × b=| x(a) y(a) z(a) | | x(b) y(b) z(b) | 这个行列式，按照第一行展开。
e表示标准单位基。 分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。 下面给出代数方法。我们假定已经知道了： 1）外积的反对称性： a × b = - b × a。
这由外积的定义是显然的。 2）内积（即数积、点积）的分配律： a•(b + c) = a•b + a•c, (a + b)•c = a•c + b•c。
这由内积的定义a•b = |a|•|b|•Cos，用投影的方法不难得到证明。 3）混合积的性质： 定义(a×b)•c为向量a, b, c的混合积，容易证明： i) (a×b)•c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。
从而就推出： ii) (a×b)•c = a•(b×c) 所以我们可以记a, b, c的混合积为(a,b,c) 由i)还可以推出： iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) 我们还有下面的一条显然的结论： iv) 若一个向量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零向量。
下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。 设r为空间任意向量，在r•[a×(b + c)]里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有 r•[a×(b + c)] = (r×a)•(b + c) = (r×a)•b + (r×a)•c = r•(a×b) + r•(a×c) = r•(a×b + a×c) 移项，再利用数积分配律，得 r•[a×(b + c) - (a×b + a×c)] = 0 这说明向量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个向量。
按3)的iv)，这个向量必为零向量，即 a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0 所以有 a×(b + c) = a×b + a×c。 证毕。
内容来源：591随身学。
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