已知函数f(x)=ax^2+4x
1。因为 [f(x1)+f(x2)]-2*f[(x1+x2)/2]
=(a*x1^2+4*x1-2)+(a*x2^2+4*x2-2)-2*{a*[(x1+x2)/2]^2+4*[(x1+x2)/2]-2}
=a*[(x1-x2)^2]/2。
所以 [f(x1)+f(x2)]-2*f[(x1+x2)/2]＞0的充要条件是a＞0 。
2。【关键】M(a)记号好像很复杂，其实就是函数f(x)的最大值点[f(x)单调减小时]或最小值点[f(x)单调增加时]。
①若a=0,M(a)=-1/2。 则当x∈[M(a),0]时，必满足-4≤f(x)≤4；
②若a＜0，则x∈[M(a),0]时，f(...全部
1。因为 [f(x1)+f(x2)]-2*f[(x1+x2)/2]
=(a*x1^2+4*x1-2)+(a*x2^2+4*x2-2)-2*{a*[(x1+x2)/2]^2+4*[(x1+x2)/2]-2}
=a*[(x1-x2)^2]/2。
所以 [f(x1)+f(x2)]-2*f[(x1+x2)/2]＞0的充要条件是a＞0 。
2。【关键】M(a)记号好像很复杂，其实就是函数f(x)的最大值点[f(x)单调减小时]或最小值点[f(x)单调增加时]。
①若a=0,M(a)=-1/2。 则当x∈[M(a),0]时，必满足-4≤f(x)≤4；
②若a＜0，则x∈[M(a),0]时，f(x)单调增加，
f(x)最大值为f(0)=-2在[-4,4]内是没问题的，
现在【要使f(x)在M(a)点取得最小值等于-4】，由ax^2+4x-2=-4
解得M(a)=[-4+√(16-8a)]/(2a)。
当x∈[M(a),0]时，必满足-4≤f(x)≤4；
这里经过分子有理化，M(a)=-4/[4+√(16-8a)]＞-1/2。
③若a＞0，则f(x)最小值为f(-2/a)=-2-4/a，
要求-2-4/a≥-4，即 【a≥2】。
现在【要使f(x)在M(a)点取得最大值等于4】，由ax^2+4x-2=4
解得M(a)=[-4-√(16+24a)]/(2a)。
这里经过分子有理化，可以看出M(a)=-12/[-4+√(16+24a)]关于a单调增加。
所以当【a≥2】时，M(a)的最小值为【M(2)=-3】。
【结论】当a≥2时，M(a)有最小值为M(2)=-3。
。收起
