证明一个矩阵问题证明：3阶实矩阵
证明：3阶实矩阵A能分解为反对称矩阵T与一个正交矩阵R的积，A =R T ，的充要条件是A有一个零奇异值并且另外两个非零奇异值相等。 (注意：E为单位矩阵）
记A^(t)为A的转置矩阵。
1。 设3阶实矩阵A能分解为反对称矩阵T与一个正交矩阵R的积，A =R T ==》
A^(t)A=T^(t)R ^(t)R T=T^(t)T=- T^2。
T为3阶反对称矩阵==》T的特征多项式P（x）=x^3+ax，a>0
==>T^3+aT=0==>(- T^2)^2-a(- T^2)=0==>
(b1）^(t)b1=- T^2的最小多项式=x^2-ax==》
A^(t)A的特征值=0，a，而显然R...全部
证明：3阶实矩阵A能分解为反对称矩阵T与一个正交矩阵R的积，A =R T ，的充要条件是A有一个零奇异值并且另外两个非零奇异值相等。 (注意：E为单位矩阵）
记A^(t)为A的转置矩阵。
1。
设3阶实矩阵A能分解为反对称矩阵T与一个正交矩阵R的积，A =R T ==》
A^(t)A=T^(t)R ^(t)R T=T^(t)T=- T^2。
T为3阶反对称矩阵==》T的特征多项式P（x）=x^3+ax，a>0
==>T^3+aT=0==>(- T^2)^2-a(- T^2)=0==>
(b1）^(t)b1=- T^2的最小多项式=x^2-ax==》
A^(t)A的特征值=0，a，而显然R（- T^2）=2==》
A有一个零奇异值并且另外两个非零奇异值相等=√a。
2。3阶实矩阵A有一个零奇异值并且另外两个非零奇异值相等。
则有正交矩阵P，使P^(t)A^(t)AP=Λ，其中
Λ=[a，0，0]
[0，a，0]，其中a>0
[0，0，0]
设B=P^(t)AP==》B^(t)B=Λ==》
B=（b1，b2，0），其中（b1）^(t)b1=（b2）^(t)b2=a，（b1）^(t)b2=0。
c1=b1/√a，c2=b2/√a，（b1）^(t)c3=（b2）^(t)c3=0，（c3）^(t)c3=1
==》
则Q1=（c1，c2，c3）为正交矩阵
Q1^(t)P^(t)AP=Q1^(t)B=
[√a，0，0]
[0，√a，0]
[0， 0，0]
设Q2=[0， 1，0]
[-1，0，0]
[0， 0，1]
==》Q1=为正交矩阵
==》Q1^(t)P^(t)APQ2=Δ=
[0，-√a，0]
[√a， 0，0]
[0， 0，0]
==》A=PQ1Δ[Q2]^(t)P^(t)=
=PQ1[Q2]^(t)P^(t){PQ2Δ[Q2]^(t)P^(t)}，
T=PQ2Δ[Q2]^(t)P^(t)，R =PQ1[Q2]^(t)P^(t)，
显然T为反对称矩阵，R为正交矩阵，A=R T 。
。收起
