高中数学函数问题:已知函数f(x
已知函数f(x)=a^x+x^2-xlna, a>1。
若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值。
请帮助详细分析并解答。谢谢。
函数y=|f(x)-t|-1=0,得到:|f(x)-t|=1
所以:f(x)-t=±1
即:f(x)=t+1,或者f(x)=t-1………………………………(1)
而,函数f(x)=a^x+x^2-xlna
则:f'(x)=lna*a^x+2x-lna=lna*(a^x-1)+2x
因为:a>1,所以:lna>0
那么:
当x>0时,a^x>1,则:f'(x)>0,函数f(x)单调递增
当x<0时,a^x<1,则:f'(x)<0,函数f(x)单调递减
所...全部
已知函数f(x)=a^x+x^2-xlna, a>1。
若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值。
请帮助详细分析并解答。谢谢。
函数y=|f(x)-t|-1=0,得到:|f(x)-t|=1
所以:f(x)-t=±1
即:f(x)=t+1,或者f(x)=t-1………………………………(1)
而,函数f(x)=a^x+x^2-xlna
则:f'(x)=lna*a^x+2x-lna=lna*(a^x-1)+2x
因为:a>1,所以:lna>0
那么:
当x>0时,a^x>1,则:f'(x)>0,函数f(x)单调递增
当x<0时,a^x<1,则:f'(x)<0,函数f(x)单调递减
所以,函数f(x)在x=0处有最小值=f(0)=1
现,已知函数f(x)的图像与直线t+1和t-1有三个交点(即方程有三个零点),那么:
因为:t+1>t-1
所以,若t-1>1,即t>2,则由f(x)的图像性质可以知道:
f(x)与直线t-1有两个交点,同时f(x)与t+1也有两个交点,那么上述方程就有4个交点,不符合题意。
若t-1<1,即t<2,则f(x)与直线t-1没有交点,此时f(x)最多只能是与直线t+1有两个(或者1个)交点。
所以:
t-1=1,即t=2时,f(x)与直线t-1=1仅有一个交点(即f(x)的最小值处),与直线t+1=3有两个交点(分别位于y轴的左右两侧),这样就一共有三个交点
综上:
t=2
(y=f(x)与直线y=t-1、y=t+1的示意图草图如下)。收起