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数学问题因式分解

请大家教一教我双十字相乘来因式分解。

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2005-10-15

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    1.双十字相乘法   分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.   例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),   可以看作是关于x的二次三项式.   对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为 参考文献:   即   -22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).    再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解   所以   原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]     =(x+2y-3)(2x-11y+1).   上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:   它表示的是下面三个关系式:   (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;   (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;   (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.   这就是所谓的双十字相乘法.   用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:   (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);   (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.   例1 分解因式:   (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;   (2)x2-y2+5x+3y+4;   (3)xy+y2+x-y-2;   (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.   解 (1)   原式=(x-5y+2)(x+2y-1).   (2)   原式=(x+y+1)(x-y+4).   (3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.   原式=(y+1)(x+y-2).   (4)   原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).   说明 (4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.   2.求根法   我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如   f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,   当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)   f(1)=12-3×1+2=0;   f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.   若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.   定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.   根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.   定理2      的根,则必有p是a0的约数,q是an的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数.   我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解.   例2 分解因式:x3-4x2+6x-4.   分析 这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数:±1,±2,±4,只有   f(2)=23-4×22+6×2-4=0,   即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2.   解法1 用分组分解法,使每组都有因式(x-2).   原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)     =x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)     =(x-2)(x2-2x+2).   解法2 用多项式除法,将原式除以(x-2),   所以 原式=(x-2)(x2-2x+2).   说明 在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.   例3 分解因式:9x4-3x3+7x2-3x-2.   分析 因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,± 为:   所以,原式有因式9x2-3x-2.   解 9x4-3x3+7x2-3x-2    =9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2    =x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2    =(9x2-3x-2)(x2+1)    =(3x+1)(3x-2)(x2+1)   说明 若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式   可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程.   总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了.   3.待定系数法   待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用.   在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.   例4 分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3.   分析 由于   (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),   若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.   解 设   x2+3xy+2y2+4x+5y+3   =(x+2y+m)(x+y+n)   =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,   比较两边对应项的系数,则有   解之得m=3,n=1.所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1).   说明 本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.   例5 分解因式:x4-2x3-27x2-44x+7.   分析 本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.   解 设   原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)     =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,   所以有   由bd=7,先考虑b=1,d=7有       所以   原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7).   说明 由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入方程组后,无法确定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止.   本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法,使我们找到了二次因式.由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地. 练习二   1.用双十字相乘法分解因式:   (1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3;   (2)x2-xy+2x+y-3;   (3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2.   2.用求根法分解因式:   (1)x3+x2-10x-6;   (2)x4+3x3-3x2-12x-4;   (3)4x4+4x3-9x2-x+2.   3.用待定系数法分解因式:   (1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20;   (2)x4+5x3+15x-9. 。
    。

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