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几何题

如图,矩形ABCD中,AB=20 BC=10若AB、AC上各取一点N、M,使得BM+MN的值最小,这个最小值是多少?为什么?

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2012-03-10

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  作B点关于AC的对称点B1,连BB1交AC于E,则 AC⊥BB1,BE=EB1。 作B1N1⊥AB于N1,交AC于M1,连BM1,则 BM+MN=B1M+MN>=B1N1=B1M1+M1N1=BM1+M1N1。
  
   矩形ABCD中,AB=20 ,BC=10, ∴AC=10√5。 BE=AB*BC/AC=4√5。 Rt△BB1N1∽Rt△CAB, ∴BB1/CA=B1N1/AB, ∴BM+MN的最小值B1N1=AB*BB1/AC=20*8√5/(10√5)=16。

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