尺规作图：平分四边形的面积

尺规作图题尺规作图：求作一条直线，同时平分任意△ABC的周长和面积。

过内心作面积等分线的方法: 1。作出内心I 2。取各边中点D,E,F,确定重心G,不妨设I在△CGE内 【I一定在三角形内部,在由重心,顶点,和顶点所在边的中点确定的某个三角形内(含边界)。 假如I在△BGF,或△CGE内,那么一定可以作出一条与BF,CE相交过I的直线等分△ABC的面积,这里只为确定作图的方向,否则可能造成后面第5步没有交点】 3。连IE,AI,作∠ABP=∠AIE,BP交AI延长线于P 4。 以AI为直径作圆,过P作圆切线PT,T为切点 5。以P为圆心,PT为半径作圆脚BF于M [圆P与CE也交于N点,M。I。N共线] 直线MI(或者说MN)即为所求 =======...全部

  过内心作面积等分线的方法: 1。作出内心I 2。取各边中点D,E,F,确定重心G,不妨设I在△CGE内 【I一定在三角形内部,在由重心,顶点,和顶点所在边的中点确定的某个三角形内(含边界)。
  假如I在△BGF,或△CGE内,那么一定可以作出一条与BF,CE相交过I的直线等分△ABC的面积,这里只为确定作图的方向,否则可能造成后面第5步没有交点】 3。连IE,AI,作∠ABP=∠AIE,BP交AI延长线于P 4。
  以AI为直径作圆,过P作圆切线PT,T为切点 5。以P为圆心,PT为半径作圆脚BF于M [圆P与CE也交于N点,M。I。N共线] 直线MI(或者说MN)即为所求 ============================= 那就补充个证明:不太相信有很简单的作法 (1) AI平分∠BAC==>∠BAP=∠IAE ∠ABP=∠AIE(作出) ==>△ABP∽△AIE==>AB*AE=AP*AI PT是切线==>PT^2=PI*PA==>PM^2=PI*PA ==>△PMI∽△PAM==>∠PMN=∠PAM=∠PAN ==>M。
  P。N。
  A共圆==>∠APM=∠ANI ∠MAP=∠IAN ==>△APM∽△ANI==>AM*AN=AP*AI ==>AM*AN=AB*AE=AB*1/2AC S△ABC=1/2AB*AC*sinA,S△AMN=1/2AM*AN*sinA ==>S△ABC=2S△AMN 即MN平分△ABC面积 (2)设内切圆半径为r,则S△ABC=1/2(a+b+c)r I是内心,S△AMI=1/2AM*r,S△ANI=1/2AN*r ∴S△AMN=S△AMI+S△ANI=1/2(AM+AN)r 由(1)S△ABC=2S△AMN ∴1/2(a+b+c)r=(AM+AN)r ∴AM+AN=1/2(a+b+c) 即MN平分△ABC周长 由此可见,既平分面积又平分周长的直线一定过内心 那么有几条这样的直线呢?有兴趣的话可以继续研究 。收起