1.A可逆,AB = BA. 证明:A+B 可逆;2.A是N阶复矩阵,B是幂0矩阵,AB=BA,证明1.A可逆,AB = BA. 证明:A+B 可逆;2.A是N阶复矩阵,B是幂0矩阵,AB=BA,证明│A+2011B│=│A│
第一题是错误的,例如如果B=-A,满足条件,但是A+B=0不可逆。所以我觉得第一题,应该同样假设B幂零。那么实际上就归结到第二题了,第二题中2011不是决定性的参量。
第二题,由A,B可交换知,可同时Jordan 标准化,由B幂零知,B的代数特征值只能为0,化为上三角后对角线上为零,得证。
这些题的根本在: 交换矩阵可以同时上三角化,(因为AB=BA,所以A保持B的根子空间不动)。
当然也可能有别的解法。
对于第一题,A(A+B)=(A+B)A,因而A和A+B有相同的特征根,由A可逆知特征根不为零,故A+B可逆,得证; 对于第二题,由A,B可交换知,存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP,P^(-1)BP同时为上三角形,由B幂零知,B化为上三角后对角线上为零,得证。