什么是线性递推数列的特征方程啊我看兔子数列的通项推导中有!我想知道上面那个东西是...
在二阶差分（也叫递推）式a*f(n 2) b*f(n 1) c*f(n)=0中,为了求出一阶差分式,我们总希望将原式子变形成f(n 2)-x1*f(n 1)=x2*(f(n 1)-x1*f(n))的形式,因为如果有这样的常数x1,x2使式子成立,那么,数列{f(n 1)-x1*f(n)}就是一个公比为x2的等比数列了。 同时,f(n 2)-x1*f(n 1)=x2*(f(n 1)-x1*f(n))还可写成：f(n 2)-x2*f(n 1)=x1*(f(n 1)-x2*f(n)),也可得到,数列{f(n 1)-x2*f(n)}也是一个公比为x1的等比数列。 这样,就可方便地不求出通项...全部
在二阶差分（也叫递推）式a*f(n 2) b*f(n 1) c*f(n)=0中,为了求出一阶差分式,我们总希望将原式子变形成f(n 2)-x1*f(n 1)=x2*(f(n 1)-x1*f(n))的形式,因为如果有这样的常数x1,x2使式子成立,那么,数列{f(n 1)-x1*f(n)}就是一个公比为x2的等比数列了。
同时,f(n 2)-x1*f(n 1)=x2*(f(n 1)-x1*f(n))还可写成：f(n 2)-x2*f(n 1)=x1*(f(n 1)-x2*f(n)),也可得到,数列{f(n 1)-x2*f(n)}也是一个公比为x1的等比数列。
这样,就可方便地不求出通项式f(n)。 注意到,要将a*f(n 2) b*f(n 1) c*f(n)=0写成f(n 2)-x1*f(n 1)=x2*(f(n 1)-x1*f(n)),必定会有x1 x2=-b/a,x1*x2=c/a。
利用二次方程根与系数的关系,可知x1,x2恰为ax^2 bx c=0的两根。可见,差分方程af(n 2) bf(n 1) cf(n)=0的通项式与二次方程ax^2 bx c=0的根具有紧密的联系。
我们就将这个二次方程称做差分方程的特征方程。 如,斐波那契数列,它满足f(1)=f(2)=1,f(n 2)=f(n 1) f(n),那么差分式的特征方程为x^2-x-1=0,解得x1=(1 根号5）/2,x2=(1-根号5)/2,(x1 x2=1,x1*x2=-1)。
那么{f(n 1)-x1*f(n)}是等比数列,公比为x2,那么可写出f(n 1)-x1*f(n)=(f(2)-x1*f(1))*x2^(n-1)=(1-x1)*x2^(n-1)=x2^n, 同理还可写出f(n 1)-x2*f(n)=x1^n。
两式相减,就有：(x1-x2)f(n)=x1^n-x2^n, f(n)=(x1^n-x2^n)/(x1-x2)=((1 根号5)^n-(1-根号5)^n)/(2^n*根号5)。 线性递推数列的特征方程是求解通项式常用的方法,关键是要掌握要领。
收起
