一道高中数列习题
解：假设存在公差为d的等差数列{an}，使得比值Sn/S2n=k,k是一个与n无关的常数，所以 Sn/S2n=[n(a1+an)/2]/[2n(a1+a2n)/2]
=(a1+an)/2(a1+a2n)
=[2a1+(n-1)d]/2[2a1+(2n-1)d]
=k ---------（I)
把上式整理成关于n的恒等式，得(2k-1)*(2a1-d)+(4k-1)*d*n=0
则有 (2k-1)*(2a1-d)=0 -----(1)
且 (4k-1)*d=0 -----(2)
联解（1）、（2）得 d=0,a1!=0,k=1/2
或 a1=d/2,d!=0,k...全部
解：假设存在公差为d的等差数列{an}，使得比值Sn/S2n=k,k是一个与n无关的常数，所以 Sn/S2n=[n(a1+an)/2]/[2n(a1+a2n)/2]
=(a1+an)/2(a1+a2n)
=[2a1+(n-1)d]/2[2a1+(2n-1)d]
=k ---------（I)
把上式整理成关于n的恒等式，得(2k-1)*(2a1-d)+(4k-1)*d*n=0
则有 (2k-1)*(2a1-d)=0 -----(1)
且 (4k-1)*d=0 -----(2)
联解（1）、（2）得 d=0,a1!=0,k=1/2
或 a1=d/2,d!=0,k=1/4
经验证，第二组解不满足（I），所以存在非零的常数列{an}，使得比值Sn/S2n是一个与n无关的常数。
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