数学问答二第17次1问题g数学问
过点P作底面△ABC的垂线，垂足为O，过点O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足依次为D、E、F，连接PD、PE、PF
因为PO⊥面ABC
所以，PO⊥AB
又AB⊥OD
所以，AB⊥面POD
所以，AB⊥PD
那么，∠PDO即面PAB与面ABC所成的角
同理，∠PEO、∠PFO为面PBC、PAC与底面所成的角
所以，∠PAO=∠PEO=∠PFO=60°
又，PO公共
所以，Rt△PDO≌Rt△PEO≌Rt△PFO
所以，OD=OE=OF
即，点O为△ABC内切圆的圆心
△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7
由余弦定理有：cosB=(5^2+6^2-7^2)/(2*5*6)=(25+36...全部
过点P作底面△ABC的垂线，垂足为O，过点O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足依次为D、E、F，连接PD、PE、PF
因为PO⊥面ABC
所以，PO⊥AB
又AB⊥OD
所以，AB⊥面POD
所以，AB⊥PD
那么，∠PDO即面PAB与面ABC所成的角
同理，∠PEO、∠PFO为面PBC、PAC与底面所成的角
所以，∠PAO=∠PEO=∠PFO=60°
又，PO公共
所以，Rt△PDO≌Rt△PEO≌Rt△PFO
所以，OD=OE=OF
即，点O为△ABC内切圆的圆心
△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7
由余弦定理有：cosB=(5^2+6^2-7^2)/(2*5*6)=(25+36-49)/60=1/5
所以，sinB=2√6/5
那么，△ABC的面积=(1/2)*5*6*(2√6/5)=6√6
而，△ABC的面积=(1/2)*AB*OD+(1/2)*BC*OE+(1/2)*AC*OF
=(1/2)*(AB+BC+AC)*r
=(1/2)*(5+6+7)*r
=9r
所以，9r=6√6
则，r=2√6/3
又，在Rt△PDO中，tan∠PDO=PO/OD=PO/r
所以，PO=r*tan60°=(2√6/3)*√3=2√2
所以，三棱锥P-ABC的体积V=(1/3)*S△ABC*PO=(1/3)*6√6*2√2=8√3
因为三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的角度均为60°，由射影定理有：S△AOB/S△PAB=cos∠PDO=1/2
同理，S△OBC/S△PBC=1/2，S△OAC/S△PAC=1/2
所以，三棱锥P-ABC的表面积=S△PAB+S△PBC+S△PAC+S△ABC
=2S△AOB+2S△BOC+2S△AOC+S△ABC
=2(S△AOB+S△BOC+S△AOC)+S△ABC
=3S△ABC
=3*3√6=18√6
而，三棱锥P-ABC的体积V=(1/3)*S表面积*R【即，将三棱锥P-ABC分割为以内切球球心为顶点的四个小三棱锥】
=(1/3)*18√6*R=6√6R
所以，6√6R=8√3
所以，R=2√2/3。
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