数列题设数列｛an｝,n∈N*,
设数列｛an｝,n∈N*,是等差数列，且公差为d,若数列｛an｝中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”。
（1）设Sn是数列｛an｝的前n项和，若公差d=1,a1>0,试问：是否存在这样的“封闭数列”，使lim（1/S1+1/S2+。 。。1/Sn）=11/9;若存在，求｛an｝的通项公式，若不存在，说明理由。
解：am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d是等差数列{an}中的一项，必须且只需a1/d为正整数。
取a1=2,Sn=n(n+3)/2。
1/S1+1/S2+。。。1/Sn
=2/3*[1-1/4+1/2-1/...全部
设数列｛an｝,n∈N*,是等差数列，且公差为d,若数列｛an｝中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”。
（1）设Sn是数列｛an｝的前n项和，若公差d=1,a1>0,试问：是否存在这样的“封闭数列”，使lim（1/S1+1/S2+。
。。1/Sn）=11/9;若存在，求｛an｝的通项公式，若不存在，说明理由。
解：am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d是等差数列{an}中的一项，必须且只需a1/d为正整数。
取a1=2,Sn=n(n+3)/2。
1/S1+1/S2+。。。1/Sn
=2/3*[1-1/4+1/2-1/5+1/3-1/6+1/4-1/7+……+1/n-1/(n+3)]
=2/3[1+1/2+1/3-1/(n+1)-1/(n+2)-1/(n+3)]
→2/3*11/6=11/9（n→+∞）。
（2）试问：数列｛an｝为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明。
解：若数列｛an｝为“封闭数列”，则
a1+a1=a1+(n-1)d,n>1,
a1=(n-1)d,
若d=0,则a1=0,an=0。
若d≠0，则a1/d=n-1为正整数。
反之，若a1/d=正整数k,则
am+ap=a1+(m-1)d+a1+(p-1)d
=a1+(k+m+p-2)d,
其中k+m+p-2是正整数，
∴am+ap是等差数列{an}的第（k+m+p-1)项。
综上，非零数列｛an｝为“封闭数列”的充要条件是首项为公差的正整数倍。
。收起
