数学：三角函数已知sinθ=as
已知sinθ=asinφ,tanθ=btanφ,其中θ为锐角，求证：
cosθ=√(a^2-1)/(b^2-1)
注：（a^2-1)/(b^2-1)都在根号下
证明：
因为tanθ=sinθ/cosθ=btanφ
所以，sinθ=bcosθtanφ
而：sin^2 θ+cos^2 θ=1
所以：(bcosθtanφ)^2+cos^2 θ=1
===> b^2*cos^2 θ*tan^2 φ+cos^2 θ=1
===> cos^2 θ*(b^2*tan^2 φ+1)=1
===> cos^2 θ=1/(b^2*tan^2 φ+1)
===> cos^2 θ=1/[b^2*(sin^2 φ/...全部
已知sinθ=asinφ,tanθ=btanφ,其中θ为锐角，求证：
cosθ=√(a^2-1)/(b^2-1)
注：（a^2-1)/(b^2-1)都在根号下
证明：
因为tanθ=sinθ/cosθ=btanφ
所以，sinθ=bcosθtanφ
而：sin^2 θ+cos^2 θ=1
所以：(bcosθtanφ)^2+cos^2 θ=1
===> b^2*cos^2 θ*tan^2 φ+cos^2 θ=1
===> cos^2 θ*(b^2*tan^2 φ+1)=1
===> cos^2 θ=1/(b^2*tan^2 φ+1)
===> cos^2 θ=1/[b^2*(sin^2 φ/cos^2 φ)+1]……………（1）
又，sinθ=asinφ
所以，sin^2 θ=a^2*sin^2 φ
所以：cos^2 θ=1-sin^2 θ=1-a^2*sin^2 φ
所以，sin^2 φ=(1-cos^2 θ)/a^2
则，cos^2 φ=1-sin^2 φ=(a^2-1+cos^2 θ)/a^2
代入(1)得到：
cos^2 θ=1/{b^2*[(1-cos^2 θ)/a^2]/[(a^2-1+cos^2 θ)/a^2]+1}
===> cos^2 θ=1/[b^2*(1-cos^2 θ)/(a^2-1+cos^2 θ)+1]
===> cos^2 θ=1/[(b^2-b^2*cos^2 θ+a^2-1+cos^2 θ)/(a^2-1+cos^2 θ)]
===> cos^2 θ=(a^2-1+cos^2 θ)/[(a^2+b^2-1)+(1-b^2)cos^2 θ]
===> (1-b^2)cos^4 θ+(a^2+b^2-1)cos^2 θ=a^2-1+cos^2 θ
===> (1-b^2)cos^4 θ+(a^2+b^2-2)cos^2 θ+(1-a^2)=0
===> [(1-b^2)cos^2 θ-(1-a^2)]*[cos^2 θ-1]=0
因为θ为锐角
所以，0＜cosθ＜1
所以，0＜cos^2 θ＜1
所以，[(1-b^2)cos^2 θ-(1-a^2)]=0
则，cos^2 θ=(1-a^2)/(1-b^2)=(a^2-1)/(b^2-1)
所以，cosθ=√(a^2-1)/(b^2-1)。
收起
