整除问题 能被2、3、4、5、6、8、9整除的证明我都会了，现在还有7和11的的不明白。
被7整除的特性为：以后3位为界，大数减去小数，若能整除7则该数能被7整除，求证明过程！！！
还有能整除11的证明过程！！！
请高手指教！谢谢！
对于整数N=ma=10*m+a；a为个位。若m-2a=7b，即可以被7整除。
有：N=10*m+a=70b+21a=7*（10*b+3a），即N可被7整除。若m-2a=7b+e，e为余数，则N不能被7整除，证法同上。
考虑一个数与11相乘
令x=abcde*11 分析x的特征
abcde
* 11 。。。。。。(1)
= abcde
abcde
=a(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)e
若各位相加都没进位 则奇数位和-偶数位和=0
若只有d+e有进位 a(a+b)(b+c)(c+d+1)(d+e-10)e
很明显此时 奇数位和-偶数位和=11...全部
对于整数N=ma=10*m+a；a为个位。若m-2a=7b，即可以被7整除。
有：N=10*m+a=70b+21a=7*（10*b+3a），即N可被7整除。若m-2a=7b+e，e为余数，则N不能被7整除，证法同上。
考虑一个数与11相乘
令x=abcde*11 分析x的特征
abcde
* 11 。。。。。。(1)
= abcde
abcde
=a(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)e
若各位相加都没进位 则奇数位和-偶数位和=0
若只有d+e有进位 a(a+b)(b+c)(c+d+1)(d+e-10)e
很明显此时 奇数位和-偶数位和=11
若只有c+d有进位 a(a+b)(b+c+1)(c+d-10)(d+e)e
很明显此时 奇数位和-偶数位和=-11
继续推下去可知
对于1式的乘法，当奇数位有进位而与他相邻的高位没有进位时 此时 奇数位和-偶数位和=-11
当偶数位有进位而与他相邻的高位没有进位时 此时 乘积结果的奇数位和-偶数位和=11
若奇数位和偶数数都有进位，那么所得乘积结果的奇数位和-偶数位和(各位数字相加)就取决于是奇数位和(乘法相加时)进位的多还是偶数位和进位的多
也就是说能被11整除的数总有这么一个特征，他的奇数位和-偶数位和(各位数字相加)是11或-11的正整数倍，或者是0，也就是能被11整除
反过来，1个具备这样特征的数(目标数)是否一定能被11整除，下面给予证明 要通过一个目标数找到原数(目标数/11)
假设目标数为abcde 若奇数位和-偶数位和(各位数字相加)是11或-11的正整数倍或0
比较原数的某位与目标数的邻高位 很明显原数的最低位一定是目标数的最低位
比如 9856 ， 原数一定是***6 先比较5和6
对于最低位，若次低位(目标数)>最低位(原数)
则可知原数次低位是目标数次低位-最低位(原数)
若次低位<最低位
则可知原数次低位是目标数次低位+10-最低位(原数)
然后比较原数的次次低位与目标数次低位
这样依次下去，就会找到原数
也就是说满足这样一个条件的数，经过一定步骤的运算，就能找到它被11除的数
因此，奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0)就可以推出这个数能被11整除。
写的很罗嗦，希望你能看懂
。收起
