求教初三正方形几何题如图,E、F
如图，E、F分别为正方形ABCD边BC与CD延长线上的点，且BE=DF，EF分别交线段AC、线段AD于M、N两点(E不与B、C重合)
（1）若AB=1，E是BC的中点，试求△AEF的面积；
如图
已知四边形ABCD为正方形，所以：AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°
已知BE=DF
所以，Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS）
所以，AE=AF………………………………………………（1）
且，∠BAE=∠DAF
已知，∠BAE+∠DAE=90°
所以，∠DAF+∠DAE=90°
即，∠EAF=90°…………………………………………（2）
由(1)(2)知，△EAF为等腰直角三角形
在Rt△A...全部
如图，E、F分别为正方形ABCD边BC与CD延长线上的点，且BE=DF，EF分别交线段AC、线段AD于M、N两点(E不与B、C重合)
（1）若AB=1，E是BC的中点，试求△AEF的面积；
如图
已知四边形ABCD为正方形，所以：AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°
已知BE=DF
所以，Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS）
所以，AE=AF………………………………………………（1）
且，∠BAE=∠DAF
已知，∠BAE+∠DAE=90°
所以，∠DAF+∠DAE=90°
即，∠EAF=90°…………………………………………（2）
由(1)(2)知，△EAF为等腰直角三角形
在Rt△ABE中，由勾股定理得到：AE^2=AB^2+BE^2=1+(1/4)=5/4
则，S△AEF=(1/2)AE*AF=(1/2)AE^2=(1/2)*(5/4)=5/8
（2）求证：△AEM∽△FCM；
由前面知，△AEF为等腰直角三角形
所以，∠AEM(F)=45°
四边形ABCD为正方形，AC为对角线
所以，∠FCM=45°
所以，∠AEM=∠FCM……………………………………（1）
而，∠AME=∠FMC（对顶角）…………………………（2）
由(1)(2)知，△AEM∽△FCM
（3）若S△CEF：S△AEF=1：2，试求tan∠EFC的值；
设CE=x＜1，则BE=1-x
所以，DF=BE=1-x
所以，CF=1+(1-x)=2-x
那么，在Rt△CEF中由勾股定理得到：EF^2=CE^2+CF^2=x^2+(2-x)^2
=x^2+x^2-4x+4
=2x^2-4x+4
而△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形
所以，S△AEF=(1/2)*EF*(EF/2)=(1/4)EF^2=(1/4)*(2x^2-4x+4)
=(1/2)*(x^2-2x+2)
又，S△CEF=(1/2)CE*CF=(1/2)*x*(2-x)
已知S△CEF:S△AEF=1:2
即，S△AEF=2S△CEF
===> (1/2)(x^2-2x+2)=2*[(1/2)x(2-x)]
===> x^2-2x+2=2x(2-x)=4x-2x^2
===> 3x^2-6x+2=0
===> x=[6±√(36-24)]/6=(6±2√3)/6=(3±√3)/3
因为x=(3+√3)/3＞1，不合题意，舍去
所以，x=(3-√3)/3
则，CF=2-x=2-[(3-√3)/3]=(3+√3)/3
所以，tan∠EFC=CE/CF=[(3-√3)/3]/[(3+√3)/3]=(3-√3)/(3+√3)
=2-√3
（4）设AM:AC=x，AN:AD=y， 试求y关于x的函数，并写出定义域
设正方形ABCD的边长为a，BE=DF=b
已知AN/AD=y ===> AN/a=y
所以，AN=ya，DN=a-ay=(1-y)a
且，CE=a-b
已知AM/AC=x，所以：AM/CM=x/(1-x)
因为AN//CE
所以，AN/CE=AM/CM=x/(1-x)
===> ya/(a-b)=x/(1-x)……………………………………（1）
又，DN//CE
所以，FD/FC=DN/CE
===> b/(a+b)=(1-y)a/(a-b)………………………………（2）
联立(1)(2)得到：2x^2+y^2-xy^2-2xy=0
这就是x和y的函数关系式
当E无限靠近B点时，F就无限靠近点D，则EF就无限与正方形ABCD的对角线BD接近。
此时，点M就无限接近AC中点
此时，AM/AC=x就无限接近1/2
当E无限靠近C点时，点M就无限接近C点
此时，AM/AC=x就无限接近1
所以，定义域为：1/2＜x＜1。收起
