两个数学极限问题?(要求用两个重
1。
设y=(1+2^m+3^m)^(1/m)
lny=ln(1+2^m+3^m)/m
lny→(2^m*ln2+3^m*ln3)/(1+2^m+3^m)
如果m→+∞,
lny→[(2/3)^m*ln2+ln3]/[1/3^m+(2/3)^m+1]
→ln3(当m→+∞时)
y→3
如果m→-∞,
lny→[ln2+(3/2)^m*ln3]/[1/2^m+1+(3/2)^m]
→ln2/[2^(-m)+1](当m→-∞时)
→0(当m→-∞时)
y→1
当m→+∞时,极限为3
当m→-∞时,极限为1
当m→∞时,极限不存在
2。
第一种解法(罗心达法则)
设y=(tanx)^tan2...全部
1。
设y=(1+2^m+3^m)^(1/m)
lny=ln(1+2^m+3^m)/m
lny→(2^m*ln2+3^m*ln3)/(1+2^m+3^m)
如果m→+∞,
lny→[(2/3)^m*ln2+ln3]/[1/3^m+(2/3)^m+1]
→ln3(当m→+∞时)
y→3
如果m→-∞,
lny→[ln2+(3/2)^m*ln3]/[1/2^m+1+(3/2)^m]
→ln2/[2^(-m)+1](当m→-∞时)
→0(当m→-∞时)
y→1
当m→+∞时,极限为3
当m→-∞时,极限为1
当m→∞时,极限不存在
2。
第一种解法(罗心达法则)
设y=(tanx)^tan2x
lny=tan2x*lntanx=lntanx/cot2x
lny→[(1/tanx)(1/cosx*cosx)]/[-2/sin2x*sin2x]
=-[sin2x*sin2x]/2sinxcosx
=-sin2x
→-1(∵x→π/4)
y→1/e
极限1/e
第二种解法(重要极限方法)
设x=u+π/4
u=x-π/4→0,tanu~u(等价)
tanx=tan(u+π/4)=(tanu+1)/(1-tanu)
~(u+1)/(1-u)=1+2u/(1-u)
设y=2u/(1-u),则y→0
tanx~1+y
tan2x=tan(2n+π/2)=-1/tan2u
~-(1-u^2)/2u=[(1-u)/2u][-(1+u)]=-(1+u)/y
x→π/4时u→0,y→0
(tanx)^tan2x~(1+y)]^[-(1+u)/y]
=[(1+y)^(1/y)]^[-(1+u)]
→e^(-1)
=1/e
对不起,第1题由于极限不存在,不可能用"两个重要"极限求。
第2题,开始时,由于用tan2x来表示tanx太复杂,感到难以使用重要极限,后来想到等价替换,于是有了第二种解法,是否符合提问者要求,有待评说。收起