过原点作曲线y=2^x的切线，求切点坐标、斜率。

已知为常数,,函数,.(其中是自然对数的底数)()过坐标原点作曲线的切线,设切点...

先对函数求导,,可得切线的斜率,即,由是方程的解,且在上是增函数,可证()由,,先研究函数,则。由在上是减函数,可得,通过研究的正负可判断的单调性,进而可得函数的单调性,可求 解:。 (分)所以切线的斜率,整理得。(分)显然,是这个方程的解,又因为在上是增函数,所以方程有唯一实数解。故。(分)(),。(分)设,则。易知在上是减函数,从而。 (分)当,即时,,在区间上是增函数。 ,在上恒成立,即在上恒成立。...全部

  先对函数求导,,可得切线的斜率,即,由是方程的解,且在上是增函数,可证()由,,先研究函数,则。由在上是减函数,可得,通过研究的正负可判断的单调性,进而可得函数的单调性,可求 解:。
   (分)所以切线的斜率,整理得。(分)显然,是这个方程的解,又因为在上是增函数,所以方程有唯一实数解。故。(分)(),。(分)设,则。易知在上是减函数,从而。 (分)当,即时,,在区间上是增函数。
  ,在上恒成立,即在上恒成立。在区间上是减函数。所以,满足题意。 (分)当,即时,设函数的唯一零点为,则在上递增,在上递减。又,。又,在内有唯一一个零点,当时,,当时,。从而在递减,在递增,与在区间上是单调函数矛盾。
  不合题意。综合得,。
   (分) 考查学生利用导数研究函数的单调能力,函数单调性的判定,以及导数的运算,试题具有一定的综合性。收起