线段AB=1,将其n等分。
(1)有多少条线段?
(2)这些线段长度总和是多少?
(1) n=1
不存在。
(2) n=2
2等分。
1+2条线段
总长=1 + (1/2)×2 = (2×1+1×2)/2 = 4/2
(3) n=3
3等分
1+2+3条线段
总长=1 + (2/3)×2 + (1/3)×3 = (3×1+2×2+1×3)/3 = 10/3
(4) n=4
4等分
1+2+3+4条线段
总长=1 + (3/4)×2 + (2/4)×3 + (1/4)×4 = (4×1+3×2+2×3+1×4)/4 = 20/4
(5) n=5
5等分
1+2+3+4+5条线段
总长=1 + (4/5)×2 + (3/5)×3 + (2/5)×4 + (1/5)×5 = ...全部
(1) n=1
不存在。
(2) n=2
2等分。
1+2条线段
总长=1 + (1/2)×2 = (2×1+1×2)/2 = 4/2
(3) n=3
3等分
1+2+3条线段
总长=1 + (2/3)×2 + (1/3)×3 = (3×1+2×2+1×3)/3 = 10/3
(4) n=4
4等分
1+2+3+4条线段
总长=1 + (3/4)×2 + (2/4)×3 + (1/4)×4 = (4×1+3×2+2×3+1×4)/4 = 20/4
(5) n=5
5等分
1+2+3+4+5条线段
总长=1 + (4/5)×2 + (3/5)×3 + (2/5)×4 + (1/5)×5 = (5×1+4×2+3×3+2×4+1×5)/5 = 35/5
(6) n=6
6等分
1+2+3+4+5+6条线段
总长=1 + (5/6)×2 + (4/6)×3 + (3/6)×4 + (2/6)×5 + (1/6)×6 = (6×1+5×2+4×3+3×4+2×5+1×6)/6 = 56/6
。
。。。。。
(n) n等分
1+2+3+。。。+n=(n+1)n/2条线段
总长=n/n×1 + (n-1/n)×2 + (n-2/n)×3 + (n-3/n)×4 + (n-4/n)×5 + 。
。。(2/n)×(n-1) + 1/n×n
=1/n×(n + 2(n-1) + 3(n-2) + 4(n-3) + 5(n-4) + 。。。+ n(1))
=(n+1)(n+2)/6。收起