微积分10道题
题目太多，今后请一题一问！
m{[∫e^(t^2)dt]^2}/>[∫te^(2t^2)dt](罗必塔法则)=lim[2e^(x^2)∫ e^(t^2)dt]/[xe^(2x^2)]
=lim[2∫ e^(t^2)dt]/[xe^(x^2)] (罗必塔法则）
=lim2e^(x^2)/[(1+2x^2)e^(x^2)]=2。
2。 z=y^x, z'=(y^x)lny, z'=xy^(x-1)。
z''=(y^x)(lny)^2,
z''=[y^(x-1)]xlny+y^(x-1)=z''
z''=x(x-1)y^(x-2)。
3。 z=x^3-4x^2+2xy-y^2, z'=3...全部
题目太多，今后请一题一问！
m{[∫e^(t^2)dt]^2}/>[∫te^(2t^2)dt](罗必塔法则)=lim[2e^(x^2)∫ e^(t^2)dt]/[xe^(2x^2)]
=lim[2∫ e^(t^2)dt]/[xe^(x^2)] (罗必塔法则）
=lim2e^(x^2)/[(1+2x^2)e^(x^2)]=2。
2。 z=y^x, z'=(y^x)lny, z'=xy^(x-1)。
z''=(y^x)(lny)^2,
z''=[y^(x-1)]xlny+y^(x-1)=z''
z''=x(x-1)y^(x-2)。
3。 z=x^3-4x^2+2xy-y^2, z'=3x^2-8x+2y, z'=2x-2y。
令 z'=0, z'=0, 解得驻点 (0,0),(2,2)。
z''=6x-8, z''=2, z''=-2。
对于驻点(0,0), A=-8, B=2, C=-2, B^2-AC0, (2,2)不是极值点。
4。 u=x+sin(y/2)+e^(yz),
du=dx+[(1/2)cos(y/2)+ze^(yz)]dy+[ye^(yz)]dz。
5。 y^(4)-2y'''+5y''=0, 特征方程 r^4-2r^3+5r^2=0,
解得特征根 r=0, 0, 1±2i, 则通解是
y=A+Bx+(e^x)[Ccos(2x)+Dsin(2x)], 其中A,B,C,D为积分常数。
6。 P(h,r), OP方程为 y=rx/h, 则
V=π∫(rx/h)^2dx=(π/3)hr^2。
7。 令 p=y', 则 (1+x^2)y''=2xy' 化为 dp/dx=2xp/(1+x^2),
即 dp/p=[2x/(1+x^2)]dx, 得 lnp=ln(1+x^2)+lnC,
即 p=C(1+x^2), 将 p(0)=y'(0)=3 代入，得 C=3，则
y'=p=3+3x^2, y=3x+x^3+D, 将 y(0)=1 代入，得 D=1，
则所求特解是 y=x^3+3x+1。
8。 dy/dx=1/(x+y), 则 dx/dy=x+y, 即 dx/dy-x=y,
是x对于y的一阶线性微分方程，得
x=e^(∫dy)[∫ye^(-∫dy)dy+C]
=(e^y)[∫ye^(-y)dy+C]
=(e^y)[-∫yde^(-y)+C]
=(e^y)[-ye^(-y)+∫e^(-y)dy+C]
=(e^y)[-ye^(-y)-e^(-y)+C]
=Ce^y-y-1。
其中C为积分常数。
9。 联立解 y^2=2x 与 y=x-4 得交点(2,-2)，(8,4)。 则所求面积
S=∫(4+y-y^2/2)dy=[4y+y^2/2-y^3/6]=18。
10。
(1) 当 P(x,y) 沿直线 y=kx 趋于点(0,0)时，有
lim(x^2)(y^2)/[(x^2)(y^2)+(x-y)^2]
=lim(k^2)(x^4)/[(k^2)(x^4)+(1-k^2)x^2]
=lim(k^2)(x^2)/[(k^2)(x^2)+(1-k^2)],
若k=1, 则极限为1；若k=0, 则极限为0。
故极限不存在。
(2) 当 P(x,y) 沿直线 y=kx 趋于点(0,0)时，有
lim(2xy)/(x^2+y^2)
=lim(2kx^2)/[(x^2)+(kx)^2]=2k/(1+k^2),
极限取决于k值，故极限不存在。收起
