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欧拉公式怎么证明?

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2018-05-28

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    欧拉公式有很多,你需要证明哪种? 以下来自百度: 简介   (Euler公式)   在数学历史上有很多公式都是欧拉(Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的,它们都叫做   欧拉公式,它们分散在各个数学分支之中。
   分式与欧拉公式   a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)   当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1   当r=3时值为a+b+c 复变函数论与欧拉公式   e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。
    它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位。   e^ix=cosx+isinx的证明:   因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……   cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……   sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……   在e^x的展开式中把x换成±ix。
       (±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……   e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓x^3/3!+x^4/4!……   =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)   所以e^±ix=cosx±isinx   将公式里的x换成-x,得到:   e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到: sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2。
    这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到:   e^iπ+1=0。这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率 π,两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0。
    数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看它而不能理解它。 三角形与欧拉公式   设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则: d^2=R^2-2Rr 拓扑学里的欧拉公式   V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
       如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h。   X(P)叫做P的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围。
       在多面体中的运用:   简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系   V+F-E=2   这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
   初等数论与欧拉公式   欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数。  n是一个正整数。欧拉公式 欧拉证明了下面这个式子:   如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等。
  则有   φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)   利用容斥原理可以证明它。   物理学与欧拉公式   众所周知,生活中处处存在着摩擦力,欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。
  现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里:   F=fe^ka   其中,f表示我们施加的力,F表示与其对抗的力,e为自然对数的底,k表示绳与桩之间的摩擦系数,a表示缠绕转角,即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。
       此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。

2018-05-28

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e^{ix}=cos x+i sin x, 可以通过解微分方程来看 两边的函数同时满足微分方程 f''+f=0, 给定初值一样 根据唯一性 两边一定相等

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