求方程x^y=y^x的所有正有理数解。
解：
显然，相等的有理数x、y都是方程的解。
现设x≠y，不妨设y>x>0，
则存在有理数t>1，使得y=tx。
代x原方程，得
x^(tx)=(tx)^x→x=^[1/(t-1)]。
由于t是有理数，则1/(t-1)也是有理数。
若1/(t-1)不是整数，则可设
1/(t-1)=m/n，(m，n)=1，n>1。
于是，t=(m+n)/n，x=[(m+n)/n]^(m/n)。
此时，很易证明x不是有理数(这部份略)。
这样，要使x是有理数，必须1/(t-1)是正整数。
令m=1/(t-1)，则
x=[(m+1)/m]^m，y=[(m+1)/m]^m，
(这里m是任意正整数)
上...全部
解：
显然，相等的有理数x、y都是方程的解。
现设x≠y，不妨设y>x>0，
则存在有理数t>1，使得y=tx。
代x原方程，得
x^(tx)=(tx)^x→x=^[1/(t-1)]。
由于t是有理数，则1/(t-1)也是有理数。
若1/(t-1)不是整数，则可设
1/(t-1)=m/n，(m，n)=1，n>1。
于是，t=(m+n)/n，x=[(m+n)/n]^(m/n)。
此时，很易证明x不是有理数(这部份略)。
这样，要使x是有理数，必须1/(t-1)是正整数。
令m=1/(t-1)，则
x=[(m+1)/m]^m，y=[(m+1)/m]^m，
(这里m是任意正整数)
上述表达式是全部满足y>x>0的有理数解，
且x、y位置互换后仍然是原方程的有理数6解。收起
