求有关函数的分类知识?
在C语言中可从不同的角度对函数分类 :
从函数定义的角度 :
自定义函数和系统库函数
从主调函数和被调函数之间数据传送的角度:
有参函数和无参函数
从有无返回值的角度 :
有返回值函数和无返回值函数
一,奇偶性与周期性
(一)知识归纳:
1。 奇偶性:
①定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有
f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;
f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性。 如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
②简单性质:
1)图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象...全部
在C语言中可从不同的角度对函数分类 :
从函数定义的角度 :
自定义函数和系统库函数
从主调函数和被调函数之间数据传送的角度:
有参函数和无参函数
从有无返回值的角度 :
有返回值函数和无返回值函数
一,奇偶性与周期性
(一)知识归纳:
1。
奇偶性:
①定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有
f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;
f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性。
如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
②简单性质:
1)图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。
2)函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
2。周期性:
①如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)= f(x),则称f(x)为周期函数。
注意:f(x+T)= f(x)常常写作
若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(x)的最小正周期。
②若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)是周期函数,且周期为。
(二)学习要点:
1。奇偶性是某些函数具有的一种重要性质,对一个函数首先应判断它是否具人这种性质。判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断(或证明)函数是否具有奇偶性。
如果要证明一个函数不具有奇偶性质,可以在定义域内找到一对非零实数a与-a,验证f(a)±f(-a)≠0。
2。学习函数的周期性的重点是能运用周期性的定义证明一个函数是周期函数,或运用定义解决周期函数的有关问题,而且大量的问题是以抽象函数的形式出现。
求一个周期函数的最小正周期是十分困难的问题,只有在后面三角函数的学习中会出现一些非常简单问题。
【例1】讨论下述函数的奇偶性:
[解析] (1)函数定义域为R,
,
∴f(x)为偶函数;
(另解)先化简:,显然为偶函数;
从这可以看出,化简后再解决要容易得多。
(2)须要分两段讨论:
①设
②设
③当x=0时f(x)=0,也满足f(-x)=-f(x);
由①,②,③知,对x∈R有f(-x) =-f(x), ∴f(x)为奇函数;
(3),∴函数的定义域为,
∴f(x)=log21=0(x=±1) ,即f(x)的图象由两个点 A(-1,0)与B(1,0)组成,这两点既关于y轴对称,又关于原点对称,∴f(x)既是奇函数,又是偶函数;
(4)∵x2≤a2, ∴要分a >0与a 0时,
,∴当a >0时,f(x)为奇函数;
既不是奇函数,也不是偶函数。
[评析]判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变)。
【例2】解答下述问题:
(I)已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2-x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时f(x)的表达式。
[解析]由条件可以看出,应将区间[-4,0]分成两段考虑:
①若x∈[-2,0],-x∈[0,2],
∵f(x)为偶函数, ∴当x∈[-2,0]时,f(x)= f(-x)=-2x-1,
②若x∈[-4,-2 , ∴4+ x∈[0,2,
∵f(2+x)+ f(2-x), ∴f(x)= f(4-x),
∴f(x)= f(-x)= f[4-(-x)]= f(4+x)=2(x+4)-1=2x+7;
综上,
(II)已知f(x)的图象关于直线x=a 对称,又关于点(m ,n)对称(m≠a),求证:f(x)是周期函数。
[证明] 用第4讲所学的公式将两个条件表示出来,并反复运用这两个条件。
由条件得,
∵a≠m , ∴f(x)是周期T=4(a-m)的周期函数。
(Ⅲ)已知定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=-f(x),
且当x∈[0,1]时,f(x)=3-x-1,求 的值。
[解析] ∵f(x+2)=-f(x+1)= f(x) , ∴f(x)是周期为2的周期函数,
[评析] 运用数学定义解决问题是学习"奇偶性"与"周期性"的最基本的能力,应熟练训练这种能力。
【例3】设函f(x)的定义域关于原点对称,且满足
①,②存在正常数a,使得f(a)=1;
求证:(I)f(x)是奇函数; (II)f(x)是周期4a的周期函数。
[解析] (I)令x=x1-x2
是周期为4a的周期函数。
[评析] 通过例3(II)的解答,我们学习了一种很好的解题方法,由于4a与条件中的a很难直接挂上钩,因此考虑到逐步逼近结论的方法:由a→2a→4a,这是值得很好学习的数学思想方法。
二,单调性:
(一)知识归纳:
1。
定义:如果函数y= f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,,x2,当x1, ①都有f(x1) f(x2),则称f(x)在这个区间上是减函数(或单调递减),而这个区间称函数的一个单调减区间。
注意,若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调(递增或递减)区间,则f(x)称单调函数。
2。设复合函数y= f[g(x)],其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间,B是映射g : x→u=g(x) 的象集,
①若u=g(x) 在 A上是增(或减)函数,y= f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y= f[g(x)]在A上是增函数;
②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y= f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。
3。若函数y= f(x)在定义域l内的某个区间上可导 ,
①若f′(x)>0,则f(x)在这个区间上是增函数;
②若f′(x)0(0(0时,令
令;
∴当a>0时f(x)的单调递增区间是而单调递减区间是
[评析] 例1 求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题,但必须注意,如果函数的解析式含有参数,而且参数的取值影响函数的单调区间,这时必须对参数的取值进行分类讨论。
【例2】解答下述问题:
(I)设函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1,
(1)当k为何值时,函数f(x)单调递减区间是(0,4);
(2)当k为何值时,函数f(x)在(0,4)内单调递减。
[解析] 对f(x)求导得:f′(x)=3 kx2+6(k-1)x,
(1)∵函数f(x)的单调递减区间是(0,4),
∴不等式f′(x)1;
①若x1∴5,则f(x2)>f(x1)>1 , ∴f(x1)f(x2)>1, ∴>0, ∴ F(x2)> F (x1);
综上,F (x)在(-∞,5)为减函数,在(5,+∞)为增函数。
(II)已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且满足条件:
①f(x·y)= f(x)+ f(y), ②f(2)=1, ③当x>1时,f(x)>0,
(1)求证:f(x)为偶函数;
(2)讨论函数的单调性;
(3)求不等式f(x)+ f(x-3)≤2的解集。
[解析] (1)在①中令x=y=1, 得f(1)= f(1)+ f(1) f(1)=0,
令x=y=-1, 得f(1)= f(-1)+ f(-1) f(-1)=0,
再令y=-1, 得f(-x)= f(x)+ f(-1) f(x),
∴f(x)为偶函 数;
(2)在①中令
先讨论上的单调性, 任取x1,x2,设x2>x1>0,
由③知:>0,∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∵偶函数图象关于y轴对称 ,∴f(x)在(-∞,0)上是减函数;
(3)∵f[x(x-3)]= f(x)+ f(x-3)≤2, 由①,②得2=1+1= f(2)+ f(2)= f(4)= f(-4),
1)若x(x-3)>0 , ∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,
由f[x(x-3)] ≤f(4)得
2)若x(x-3)b>c B。
a> c > b C。b>a> c D。c> a>b
5。下列4个函数中:①y=3x-1 ② ③
④
则其中既不是奇函数,又不是偶函数的是 ( )
A。① B。②③ C。①③ D。①④
6。
已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足=f(x+2),当2≤x≤3,f(x)=x,则f(5。5)=( )
A。5。5 B。-5。5 C。-2。5 D。2。5
二,填空题
7。设偶函数f(x)在上为减函数,则不等式f(x)> f(2x+1) 的解集是 。
8。已知f(x)与g(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠±1},若f(x)是偶函数,g(x)是奇函 数,且f(x)+ g(x)=,则f(x)= ,g(x)= 。
9。若函数f(x)=4x3-ax+3的单调递减区间是,则实数a的值为 。
10。已知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x)是偶函数,并且在(-∞,0)上是增函数,若f(-3)=0,则不等式0,
∴当a。>1时,f(x)在(0,+∞)为增函数;
(2)当a=1时,f(x)在(0,1)及(1,+∞)内都是增函数,而f(x)在x=1处连续,∴f(x)在(0,+∞)内为增函数;
(3)当015。
(I),
①当
②当0 ∴当0 ∴当0 (另证)令f(x) =1
当0综上,当且反当a≥1时f(x)在上为单调函数。
(II)由(I)①知当a≥1时f(x)单调递减,不合;
由②知当f(x)在上单调递增等价于:
,即a的取值范围是
已知函数y=ax2+bx+c
若△=b2-4ac ≥0,作出图象:(自己做)
则函数图象与x 轴有两个交点(可重合),怎样求两点之间的距离呢?
下面介绍一个简便算法:
令y=0,得ax2+bx+c =0,然后将方程两边同时除以二次项系数a,得:x2+(b/a)x+(c/a) =0。
此时,求出sqrt(△)(即根号下△)的值,就是图象中两点之间的距离.
。收起