maclaoln展开式有哪些应用
1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。 解:根据导数表得:f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f⑷(x)=sinx…… 于是得出了周期规律。 分别算出f(0)=0,f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f⑷=0…… 最后可得:sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……(这里就写成无穷级数的形式了。 ) 类似地,可以展开y=cosx。 2、计算近似值e=limx→∞(1+1/x)^x。 解:对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项: e^x≈1+x+x...全部
1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。 解:根据导数表得:f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f⑷(x)=sinx…… 于是得出了周期规律。
分别算出f(0)=0,f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f⑷=0…… 最后可得:sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……(这里就写成无穷级数的形式了。
) 类似地,可以展开y=cosx。 2、计算近似值e=limx→∞(1+1/x)^x。 解:对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项: e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n! 当x=1时,e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n! 取n=10,即可算出近似值e≈2。
7182818。 3、欧拉公式:e^ix=cosx+isinx(i为-1的开方,即一个虚数单位) 证明:这个公式把复数写为了幂指数形式,其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。
过程具体不写了,就把思路讲一下:先展开指数函数e^z,然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性,可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起,剩余的项写在一起,刚好是cosx,sinx的展开式。
然后让sinx乘上提出的i,即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。收起