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如何推导出一元四次方程的求根公式?

如何推导出一元四次方程的求根公式?

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2018-03-05

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    笛卡尔法:一般的四次方程还可以待定系数法解,这种方法称为笛卡尔法,由笛卡尔于1637年提出。先将四次方程化为x^4 ax^3 bx^2 cx d=0的形式。令x=y-a/4,整理后得到y^4 py^2 qy r=0 (1) 设y^4 py^2 qy r=(y^2 ky t)(y^2-ky m)=y^4 (t m-k^2)y^2 k(m-t)y tm 比较dy对应项系数,得t m-k^2=p,k(m-t)=q,tm=r 设k≠0,把t和m当作未知数,解前两个方程,得t=(k^3 pk-q)/(2k),m=(k^3 pk q)/(2k) 再代入第三个方程,得((k^3 pk)^2-q^2)/(4k^2)=r 。
    即k^6 2pk^4 (p^2-4r)k^2-q^2=0 解这个方程,设kο是它的任意一根,tο和mο是k=ko时t和m的值那么方程(1)就成为 (y^2 koy to)(y^2-koy mo)=0 解方程y^2 koy to=0和y^2-koy mo=0就可以得出方程(1)的四个根,各根加上-4/a就可以得出原方程的四个根。
    费拉里法方程两边同时除以最高次项的系数可得 x^4 bx^3 cx^2 dx e=0 (1) 移项可得 x^4 bx^3=-cx^2-dx-e (2) 两边同时加上(1/2bx)^2 ,可将(2)式左边配成完全平方,方程成为 (x^2 1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3) 在(3)式两边同时加上(x^2 1/2bx)y 1/4y^2 可得 [(x^2 1/2bx) 1/2y]^2= (1/4b^2-c y)x^2 (1/2by-d)x 1/4y^2-e (4) (4)式中的y是一个参数。
    当(4)式中的x为原方程的根时,不论y取什么值,(4)式都应成立。特别,如果所取的y值使(4)式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,则对(4)对两边同时开方可以得到次数较低的方程。
  为了使(4)式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,只需使它的判别式变成0,即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c y)(1/4y^2-e)=0 (5) 这是关于y的一元三次方程,可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。
    把由(5)式求出的y值代入(4)式后,(4)式的两边都成为完全平方,两边开方,可以得到两个关于x的一元二次方程。解这两个一元二次方程,就可以得出原方程的四个根。

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