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怎么证明1,sin(nx)线性无关?

怎么证明1,sinx,sin2x,……,sin(nx)线性无关??还有证明1,sinx,(sinx)怎么证明1,sinx,sin2x,……,sin(nx)线性无关??还有证明1,sinx,(sinx)^2,……,(sinx)^n线性无关?谢谢!

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2018-04-27

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    1,sinx,sin2x,……,sin(nx)都是属于[-π,π]的连续函数,而所有的这样的连续函数可以构成一个线性空间,而且是一个希尔贝特空间,可以定义内积。而1,sinx,sin2x,……,sin(nx),。
  。。。。。正好是其中的一组傅里叶正交基。可以证明1,sinx,sin2x,……,sin(nx)中任意两个函数的内积为零,就说明它们相互正交,即线性无关了。  此内积定义为(1/2π)∫f(x)g(x)dx,其中f(x)和g(x)是连续函数,积分上下限是-π和π∫sin(nx)dx=-[cos(nx)]/n |(-π,π)=0,所以1和sinx,sin2x,……,sin(nx)都正交∫sin(nx)sin(mx)dx=-m/(m²-n²) sin(nx)cos(mx)-n/(n²-m²) sin(mx)cos(nx) |(-π,π)=0所以sinx,sin2x,……,sin(nx)之间相互正交,所以1,sinx,sin2x,……,sin(nx)线性无关。
    证明1,sinx,(sinx)^2,……,(sinx)^n线性无关的方法与前面不同,明显他们之间不是相互正交的。同上我们还可以证明1,sinx,sin2x,……,sin(nx)和cosx,cos2x,……,cos(nx)之间都是相互正交的。
  1,sinx之间线性无关以证,由于(sinx)^2可以由cos2x,1线性表出,而cos2x又与1,sinx线性无关。  所以1,sinx,(sinx)^2之间线性无关,同理依次可以推出(sinx)^3与1,sinx,(sinx)^2线性无关(sinx)^4与1,sinx,(sinx)^2,(sinx)^3线性无关。
  。。。。(sinx)^n与1,sinx,(sinx)^2,。。。。  ,(sinx)^(n-1)线性无关。得证。

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