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在平面直角坐标系中,设点,直线,点在直线上移动,是线段与轴的交点,,.求动点的轨...

在平面直角坐标系中,设点,直线,点在直线上移动,是线段与轴的交点,,.求动点的轨迹的方程;记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的曲线的弦,,设,的中点分别为,.求证:直线必过定点.

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2018-06-04

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    由已知条件知,点是线段的中点,是线段的垂直平分线,点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,写出抛物线标准方程。设出直线的方程,把,坐标代入抛物线方程,再利用中点公式求出点的坐标,同理可得的坐标,求出直线的斜率,得到直线的方程并化简,可看出直线过定点。
   解:()依题意知,直线的方程为:,设直线与轴交于点,由平行于直线可得,是的中位线,故点是线段的中点。
    又,是线段的垂直平分线。是点到直线的距离。点在线段的垂直平分线,。故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为:。()设,,,,直线的方程为则-得,即,代入方程,解得。
   所以点的坐标为。同理可得:的坐标为。 直线的斜率为,方程为;,整理得,显然,不论为何值,均满足方程,所以直线恒过定点。   本题考查轨迹方程的求法,抛物线的定义,标准方程,以及简单性质的应用,直线过定点问题,属于难题。
    。

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